例说分式方程的验根问题

李海波

解分式方程是人教版数学八年级上册的教学内容。教材着重强调了解分式方程的方法和步骤，通过具体例子展现了解分式方程可能出现增根的现象，但是考虑到学生的知识基础和接受能力，教科书没有对解分式方程为什么要验根进行深入探讨。

解分式方程为什么要验根呢？厘清等式的性质和方程同解原理是关键。解分式方程第一步是利用等式的性质在方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，虽然最后方程的解可能会使最简公分母为零，即等式两边同时乘零，但这是符合等式的基本性质的，这种变形是正确的。为什么会产生增根呢？很多学生的困惑就在这里，殊不知方程两边同时乘零，虽然满足等式的性质，但会扩大方程未知数的允许值范围，违背了方程的同解原理，这种情况下就有可能产生增根。

解集相同的两个方程叫作同解方程。解方程的过程其实就是不断用新方程替代旧方程，直到新方程是一个或几个形如x=a的方程。在这个过程中，下一步和上一步变形必须是同解变形，才能保证新方程和旧方程是同解方程，这样就不需要对解进行检验。

常见的同解变形，也可以说是同解原理有：

（1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程同解;

（2）方程两边都乘（或除以）不等于零的同一个数，所得方程与原方程是同解方程;

（3）如果方程的一边为0，另一边可以分解为n个因式的乘积，那么使各个因式分别等于零，而得出的n个方程与原方程是同解方程。

解分式方程时，如果方程两边同时乘同一个整式（最简公分母），而不是一个非零常数，那么这样的变形就不是同解变形，就不能保证新方程与原方程同解，此时可能会产生增根，就需要检验，找出不是方程的根并舍去。

下面，笔者通过举例进行同解性分析，说明分式方程增根产生的原因。

上述方程两边同时乘x2-4，得方程①，此时x≠±2，x2-4≠0，方程①与原方程同解;由同解原理（1）可知，方程②和方程③是同解方程;由同解原理（2）可知，方程③和方程④是同解方程。增根只可能发生在由①到②的变形，原因是約去分母后，方程未知数允许值的范围扩大了，也就是方程①未知数的允许值集是x≠±2的全体实数，而方程②未知数的允许值集是全体实数。

总体说来，将整式方程的解代入所乘的最简公分母，若最简公分母为0，则不满足方程同解原理，整式方程的解为增根;若最简公分母不为0，则满足方程同解原理，整式方程的解为原分式方程的解。解分式方程为什么要验根，需要根据方程的同解原理进行解释，而不是等式的基本性质。

（作者单位：广水市李店初级中学）