以实验带动体验

莘义 成杨丽

基于现实问题和学生已有认知设计合理的统计活动，让学生经历收集、整理、分析数据及做出合理推断和预测的过程，可以帮助学生感受统计的价值，积累基本活动经验，发展数据分析观念。

一、亲历统计过程，积累活动经验

发展学生数据分析观念的有效方法，是让他们真正投入统计活动的全过程。教学中，笔者通过设置“求箱子里黄球个数”“估计图钉钉尖朝上的概率”等问题，引导学生设计实验并动手操作验证，经历收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、做出统计决策的过程，帮助学生积累统计经验。

课上，笔者首先创设了这样的问题情境：“我们知道抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为0.5。小明课后做了一个抛掷硬币实验，抛掷10次有4次正面向上，抛掷20次有7次正面向上，小明产生了质疑：为什么我做的实验正面向上的‘概率’不是0.5呢？”学生回答：“每一次实验，硬币正面向上的概率为0.5，并不意味着抛掷2次就一定会有1次正面向上。”还有学生说：“0.5是理论数值，和实际是有出入的。”笔者抓住“和实际有出入”提问：“‘有出入’是不是说明概率是0.5不合实际呢？”学生思考后提出：“是不是实验次数少了？如果多实验几次可能结果会是0.5。”这个问题情境引发了学生思考并提出疑问，从而确立本节课要研究的问题，让学生感受到“为何学”。

活动环节，笔者设计了两次抛硬币实验，引导学生通过实践操作，完成数据收集与数据描述的过程，使学生感悟频率的随机性和稳定性，理解频率与概率之间的关系，自然而然地体会到用频率估计概率的合理性。

活动1：初次实验，体会频率的随机性。全班学生5人一组，分为10组，每组学生抛掷硬币50次，统计正面向上出现的次数m，计算正面向上的频率[mn]。学生以小组为单位，分工合作完成实验并填写统计表。实验结束后，笔者首先请各组汇报实验数据，并利用Excel形成各组的频率数据散点图（如下图）。然后笔者提问：观察统计图和统计表，想一想频率和概率有什么不同？学生回答：从图、表可以看出，抛掷硬币50次的频率在0.5左右波动，每组实验得出的频率不同，而概率是一个确定的数，即0.5。

活动2：增加数据，发现频率的稳定性。此环节围绕“如果重复实验次数增多，结果会如何”的问题展开探讨。笔者首先请学生填写表格（第1组的数据填在第1列，第1、第2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列），并利用Excel形成频率数据散点图（图略）。随后，笔者引导学生思考：随着重复实验次数的增加，频率的变化趋势是什么？由此你能得到频率与概率之间的关系吗？学生通过真实的实验数据得出“正面向上的频率在0.5左右波动，随着实验次数的增加，越來越接近0.5”的结论。该环节使学生进一步理解了频率具有随机性，但随着实验次数的增加，频率会逐渐表现出稳定性。

二、解决实际问题，体会统计价值

用频率估计概率是获得随机事件的概率的一种方法，它的适用范围比用列举法求概率更广泛。在运用统计知识解决问题的过程中，学生能逐步形成“用数据说话”的观念，感受统计的科学价值、应用价值。课上，笔者呈现了两个探究问题。

问题1：在不透明的箱子中放5个大小、质地相同的球，有红色、黄色两种颜色。每次随机摸出一个小球后放回，通过摸球实验推测箱子里有几个黄球。

笔者组织学生讨论，发现解决问题的关键在于摸到黄球的概率。学生仿照教科书中的摸球实验，小组合作设计实验过程，全班分享交流后执行实验。实验中，笔者引导学生利用图形计算器统计实验结果，绘制频率分布图，并根据统计结果对箱子里黄球的个数做出合理判断和预测。学生通过实验得出“大量重复实验才能得到相对准确的概率，加大实验次数可以通过累加数据得到，对于数据是否稳定需要检验”等结论，发现除已知概率的问题之外，对于概率未知的问题，也可以利用频率估计概率，形成用频率估计概率的方法。

问题2：投一枚图钉，能否估计出钉尖朝上的概率。对于这个问题，学生首先认为“不能”，因为无法确定钉尖朝上、朝下的可能性是否相等。笔者追问：你认为钉尖朝上的可能性大，还是钉尖朝下的可能性大？钉尖朝上的概率是多少？有的学生猜测钉尖朝上的可能性大，有的学生猜测钉尖朝下的可能性大，但都说不出概率是多少。于是，笔者组织学生独立设计实验方案，完整地经历用频率估计概率的全过程，不仅验证了猜想，推断出概率，而且加深了他们对用频率估计概率这个统计方法的理解和运用。

三、借助信息技术，提高学习效率

教学中，笔者利用图形计算器收集、整理、描述摸球实验的数据，合理选用Excel的数据处理功能，准确、有序地呈现统计图表，引导学生进行观察、分析，逐步体会频率和概率之间的关系。

课上，笔者首先借助Excel工具引导学生整理、描述抛掷硬币的累加数据，并形成正面向上的频率散点图;接着利用投硬币模拟软件演示投2000次硬币的模拟实验，并生成统计表和正面向上的频率散点图，让学生将模拟实验结果与真实实验结果做比较;然后利用软件的“擦除”功能擦除模拟抛掷一枚硬币2000次的正面向上频率散点图中表示概率的直线，引导学生估计此未知概率事件发生的概率是0.5;最后擦除学生抛掷硬币100次的正面向上频率散点图中表示概率的直线，估计结果并不趋向0.5，引导学生分析估计频率不准确的原因是实验次数少，频率分布不稳定，从而得出“需要大量重复实验至频率稳定时，才能估计得相对准确”的结论。这样教学，使学生更方便、快捷地得到实验结论，为学生留有更多的思考时间。

四、渗透数学文化，发展数学素养

在课堂中渗透数学文化，能充分体现数学的人文性和思想价值，提升学生的文化素养。笔者在课堂中通过多媒体课件介绍布丰等5位数学家成千上万次地做抛掷硬币实验，以及雅各布·伯努利以定理的形式给予用频率刻画概率的严格证明的过程，让学生感受到科学家求真务实的科学精神和严谨的科学态度。这样教学，既增加了课堂的趣味性，又体现了数学学科的育人功能，促使学生从数学文化中感悟统计的力量，形成崇尚科学的理性精神。

（作者单位：莘义成，枣阳市教学研究室;杨丽，枣阳市中兴学校）