例谈分式方程的“增根”与“无解”问题

韩永年

在解分式方程问题时，经常会碰到“增 根”或“无解”的情形.许多同学对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解或有增根是同样的概念.事实上，“增根”与“无解”是两个不同的数学概念.抓住概念本质是理解概念的关键.下面，笔者就分式方程的“增根”与“无 解”问题进行了剖析，希望同学们能够理解两者的概念，掌握不同问题的解法.

一、分式方程的“增根”问题

分式方程的“增根”是在去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大，从而产生了增根，所以在得出分式方程的解后往往需要进行检验，若经过验证发现是增根，则应舍去;若此“增根”是分式方程唯一的解，则说明该分式方程无解.一般而言，分式方程产生“增根”，应满足如下两个条件：一是去分母时，能使方程两边同时乘以的最简公分母等于零;二是能使分式方程转化后的整式方程成立.

例 1

解：（1）方程两边同时乘以最简公分母x（x + 1），

可得2x2 - 2=（x + 1）2，

整理可得x2 - 2x - 3=0，解得x1=3，x2=-1.

经检验，当x2=-1时，分母为0，原方程无意义，所以x2=-1为增根，应舍去，

所以原方程的解为x=3.

（2）方程两边同时乘以最简公分母 （x + 3）? （x - 3），

可得3（x + 3）-6x=4（x - 3），

整理可得x=3.

经检验，当x=3时，原方程无意义，

所以x=3为增根，应舍去，

所以原方程无解.

（3）原分式方程两边同时乘以最简公分母（x - 4）（x + 4），

可得4（x + 4）+mx=5（x - 4），

整理可得（1 - m）x=36.

因为原分式方程有增根，

所以（x - 4）（x + 4）=0，

所以x=4或x=- 4是整式方程（1 - m）x=36的根，

所以，

解得m=- 8或m=10.

评注：分式方程的“增根”必定使方程两边同时乘以的最简公分母等于0，但是并非同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值，都是分式方程的增根，也不是所有的分式方程都会产生增根.

二、分式方程的“无解”问题

分式方程无解是指不管未知数取何值时，都无法使得分式方程两边的值相等.一般情况下，当分式方程出现无解时，同学们需要注意如下两种情况：一是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程无解，则原分式方程无解;二是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程有解，但此解是原方程的增根（能使最简公分母为0），所以原分式方程亦无解.

例2

解：（1）方程两边同时乘以最简公分母x + 4，

可得x - 3=5 - x + 2（x + 4），

整理得0=16，

显然，该整式方程无解，

所以原分式方程无解.

（2）原分式方程两边同时乘以最简公分母 （x - 1）（x + 2），

可得2（x + 2）-（kx + 3）=5（x - 1），

整理可得：（k + 3）x=6.

因为原方程无解，所以需要讨论如下两种情况：

① 当k=- 3时，所得的整 式 方 程为0·x=6，显然方程是无解的，所以原分式方程无解.

② 当k≠- 3时，所得的整式方程有解，且x=6 k + 3为原分式方程的增根，

所以有6 k + 3=1或6 k + 3=-2，

解得k=3或k=- 6.

综上所述，当k=- 3或k=3或k=- 6时，原分式方程无解.

（3）证明：方程两边同乘以最简公分母x（x - 1），

可得x（x - 4t）+4t2 + 2t=x - 1，

整理可得x2 -（4t + 1）x + 4t2 + 2t + 1=0.

因为△=（4t + 1）2 - 4（4t2 + 2t + 1）=-3<0，

所以整理后的方程無实数解，

所以不论实数t 取何值时，原分式方程无实数解.

评注：当分式方程无解时，该分式方程可能有增根，也可能没有增根;当分式方程去分母后所得的整式方程无解时，分式方程一定无解;当分式方程去分母后所得的整式方程为一元二次方程，需要对分式方程的无解、有解以及增根等情况进行探讨，如果该一元二次方程没有实数解，则表明该分式方程无解.

从这两道例题可以看出，分式方程有增根与无解是完全不同的两个概念.分式方程与去分母后得到的整式方程是不等价的，这就是分式方程要验根的重要原因.同学们在解题时要用心区别，仔细辨析，明确其差异，准确把握数学概念，从而提高解分式方程的准确性.