深入挖掘教材 体会数学精神

张传民

摘  要：对教材的深入挖掘和研究可以加深对知识的理解，以便更好地体会数学理性精神和探究精神. 以“双曲线的标准方程”为例，从课的整体设计、定义的引入、距离差的拓展、无理式的处理、焦点在[y]轴的方程的说明、例题分析六个方面对教材进行深入思考.

关键词：挖掘教材;双曲线;标准方程

深入挖掘教材，可以加深对知识的理解，使学生更好地体会数学的理性精神和探究精神. 同时，深入研究教材，对教师专业能力的提高也很有帮助. 本文以人教B版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—1）》（以下统称“教材”）中的“双曲线的标准方程”一节课为例，从定义的引入、距离差的拓展、无理式的处理、焦点在[y]轴方程的说明四个方面讨论如何对教材进行有效研究和挖掘.

一、双曲线的定义是如何引入的

引入定义时坚持如下三个原则. 系统性原则：圆锥曲线是一个系统，在引入时要兼顾椭圆、双曲线、抛物线整个体系的一致性. 不能椭圆用这种方法，双曲线用那种方法，抛物线又换成另一种方法，这样不利于学生整体把握圆锥曲线的一致性. 活动性原则：尽可能设计情境让学生能动手活动、动脑思考，还要注意活动中学生的合作、交流. 生活化原则：引用的例子应该是学生日常生活中能观察到的，从而增加数学与生活之间的联系，做到数学就在学生身边，学习数学可以解决生活中的问题.

1. 设计思路1：利用椭圆类比设计

思考：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生怎样的变化？

学生合作探讨构造满足[0<MF1-MF2<F1F2]的点[M]的轨迹.

这时学生提出：利用几何画板软件，通过构造两个圆的方法画出曲线的图形.

作图依据：设两定点[A，B]，且[AB]<[F1F2]，点[C]在线段[AB]两侧运动时，则有[AC-BC=AB]为定值，如图1所示.

以点[F1]为圆心、[AC]为半径作圆，以点[F2]为圆心、[BC]为半径作圆，设两圆的交点为[M]，如图1所示，则[MF1-MF2=常数].

这时符合题意的图象做出来了，学生能发现图象可以出现两支. 由此获得双曲线的定义.

反思：这种引出双曲线定义的方法是多数教师常用的方法，它的优点是能由椭圆的定义进一步类比出双曲线的定义，简单明了. 缺点是过分强调椭圆与双曲线共性的类比，而对双曲线的个性特点认识不足. 到后来双曲线渐近线的出现会略显突兀.

在用拉链演示双曲线的形成过程时，图象画得不流畅. 用几何画板软件构造两个圆的方法能清晰地作出双曲线的两支. 但是构造两个圆解决问题，如果没有教师的提示，学生是不容易想到的. 这里，在复习椭圆时，可以不再单纯复习记忆性知识，还可以让学生做下列问题复习：求与定圆[x-22+y2=49]内切，且与定圆[x+22+y2=1]外切的动圆圆心的轨迹方程. 学生可以求出它是方程为[x216+y212=1]的椭圆. 这样，再遇到差是定值的问题时，学生容易想到利用两个圆的关系来解决. 例如，构造与定圆[x-22+y2=4]和[x+22+y2=1]都相外切的动圆圆心的轨跡. 可以利用几何画板软件演示曲线的形成过程，这样探究相对自然一些.

2. 设计思路2：利用折纸游戏设计

出示大量图片，让学生直观感受现实生活中存在着大量的双曲线的例子，然后再进行折纸游戏. 在白纸上画一个圆[F1]，在圆[F1]外取一定点[F2]，在圆[F1]上任取一点[P]，将白纸对折，使点[P]和点[F2]重合，并留下一条折痕;再在圆周上任取其他点，重复上述步骤，便可以得到折痕形成的曲线.

学生动手折叠，成果展示折痕，如图2所示. 教师用几何画板软件演示曲线生成的过程，并让学生思考：曲线上的点具有什么样的特点？从而总结归纳出点[M]的特点，如图3所示. 可以得到[MF1-MF2=][MF1-PM=PF1=r]，进而得到双曲线的定义.

反思：这样做的好处是学生经历了双曲线的产生过程，体会到发现的惊喜，感受到数学的神奇. 同时，双曲线的定义呼之欲出. 如果这样设计的话，建议整章的设计可以考虑一以贯之，即在学习椭圆时利用折纸游戏折出椭圆，学习抛物线时也利用折纸游戏折出抛物线.

这样设计的缺点是对于“为什么做折纸游戏？”“一开始，人们是如何想到并设计出这样的折纸游戏的？”没有向学生详细说明，有点强加给学生的感觉，也就是说这个折纸游戏的产生不自然.

3. 设计思路3：利用同心圆距离差设计

向学生发放如图4所示的一张纸. 学生很快能想起来在学习椭圆时，利用两个同心圆的交点画出椭圆的方法. 因此，这个题目背景学生比较熟悉.

然后让每个小组的6名学生分工完成下面的问题.

问题：用[r1，r2]分别表示圆心为[A，B]的圆的半径，找出图中满足如下条件的两圆的交点，并用光滑的曲线连接交点.

学生画完后交流画出的图象，然后思考这种曲线的特点，并试着给这种曲线下定义.

反思：这种设计方式可以较好地利用学生在前面学习椭圆时的画图方法，学生通过分组合作学习能够发现不同情况下所得的图象，可以很容易地总结出双曲线的定义. 这种方法在研究椭圆、抛物线时都可以使用.

二、距离差的拓展

除了距离和与距离差的绝对值还有如下拓展思考.

拓展1：一动点到两定点的距离的乘积等于定值[m2]，求此动点的轨迹（卡西尼卵形线）.

解：设两定点间的距离为[2a]，两定点为[A-a，0]和[Ba，0]，设动点[Mx，y].

依题意，得[MBMA=m2].

即[x+a2+y2x-a2+y2=m2].

平方并整理，得[x2+y22-2a2x2-y2+a4-m4=0].

拓展2：一动点到两定点的距离之比为常数（常数大于0且不等于1）的点的轨迹（阿波罗尼斯圆）.

人教B版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第98页的例3和第105页的“探索与研究”栏目均有涉及.

拓展3：一动点到两定点的距离的平方和为定值的点的轨迹（圆）.

设点[Px，y]到定点[A-a，0]和[Ba，0]的距离的平方和等于[4b2]，且[a>0，b>0]. 根据题意，得[x+a2+y2+x-a2+y2=4b2]，即[x2+y2=2b2-a2].

拓展4：一動点到定点和到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹.（将其中一个定点改为定直线，可以拓展圆锥曲线的第二定义.）

拓展5：在空间中，到一定点[A]和一定平面[α]的距离之比为常数[h]的点的轨迹，取决于定点和定平面的位置关系，以及常数[h]的大小.

三、无理式的处理方法

四、焦点在[y]轴上的双曲线方程的说明

对于焦点在[y]轴上的双曲线的方程，教材只是简单地说，将[x2a2-y2b2=1]中的[x，y]互换就可以得到[y2a2-][x2b2=1]，至于原因没有详细说明.

方法1：直接法. 类比焦点在[x]轴上的双曲线方程的推导方法. 以线段[F1F2]所在的直线为[y]轴，以线段[F1F2]的垂直平分线为[x]轴，可以推导.

方法2：按步骤列出方程，比较两个方程的结构的异同.

焦点在[x]轴上：[x+c2+y2-x-c2+y2=±2a].

焦点在[y]轴上：[x2+y+c2-x2+y-c2=±2a].

结构相同，只是字母[x，y]交换了位置，直接得到方程.

方法3：利用坐标轴的旋转. 先将图5中的坐标轴按顺时针旋转[90°]得到图6，也就是图7.

具体过程：设所求曲线上任意一点的坐标为[Px，y]，已知曲线[x2a2-y2b2=1]上的点的坐标为[Qx0，y0]，则利用坐标轴旋转公式[x=x0cosθ+y0sinθ，y=-x0sinθ+y0cosθ，] 其中，[θ]为坐标轴旋转的角度. 把[θ=-π2]代入公式，得[x=-y0，y=x0.] 反解，得[x0=y，y0=-x.] 又因为[Qx0，y0]在曲线[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2a2-x2b2=1].

方法4：利用图象得旋转求解.

设所求曲线上任意一点的坐标为[Px，y]，已知曲线[x2a2-y2b2=1]上的点的坐标为[Qx0，y0]，则利用图象旋转公式[x=x0cosθ-y0sinθ，y=x0sinθ+y0cosθ，]  其中，[θ]为坐标轴旋转角度. 把[θ=π2]代入公式，可以得到[x=-y0，y=x0.] 反解，得[x0=y，y0=-x.] 又因为[Qx0，y0]在曲线[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2a2-x2b2=1].

处处留心皆学问，对教材的深入、反复挖掘，能使教师更深入地理解教材，从而能引导学生把握数学内容的本质，感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

参考文献：

[1]陶兴模. 关于双曲线标准方程的说课[J]. 上海中学数学，2017（12）：5-6.

[2]陈立军. 谈“椭圆、双曲线标准方程”推导过程中教育价值的开发[J]. 中学教研（数学），2012（3）：36-38.

[3]程琛. 双曲线的发生教学研究[D]. 武汉：华中师范大学，2014.