一类具有Hilbert核非正则型奇异积分方程的直接解法*

李凯雅,魏 鑫

(1.天津职业技术师范大学理学院，天津 300222；2.西安石油大学理学院，陕西 西安 710065)

引言

奇异积分方程作为近代应用数学的一个重要组成部分，已广泛应用于材料力学、断裂力学、工程学、自然科学、医学等领域.对积分方程理论的研究，主要是研究其求解方法，包括直接解法，数值解法，逼近解等，最后给出可解条件及解的一般形式.本文把文献[1,2,3]中直接解法的思想用于在周期弹性力学等可以广泛应用的Hilbert核的奇异积分方程中.

Cauchy核奇异积分方程表示如下：

(1)

图1 周期带形 图2 基本域

由于L为D1上的任意弧段，则根据文献[1]，有如下两个引理：

引理1[1](推广的Plemelj公式)设g(t)∈H，以2π为周期，而

(2)

引理2 (周期形式的推广的留数定理)设周期函数f(z)在无穷远处有界，在D1内有孤立奇点

z1,z2,…,zM，而在L1{0}上有极点t1,t2,…,tN，阶数分别为n1,n2,…,nN，以及在[0,2π)上有极点

x1,x2,…,xK，阶数分别为k1,k2,…，kK，又

(3)

则

(4)

1 问题的提出

现讨论特征方程在非正则情况下的直接解法，即(5)式的直接解法：

(5)

本文讨论A(z)±B(z)无相同零点的非正则型的情况，允许在[0,2π]上出现非正则型的单零点.

2 问题的解决

根据Cauchy核的奇异积分方程直接解法[2]的路线来讨论问题(5).设A(z)，B(z)，f(z)如前所示.问题的关键是A(z)±B(z)零点的分布，再设:

因此有：

本文仅限于所有αk≠βj的情况.此外，还假定f′(t)∈H，并要求方程(5)的连续解φ(t)∈H.令

(6)

(7)

再代入(6)式，则有：

(8)

I1+I2+I3+I4

(9)

(10)

应该注意，为了保证φ(t)在L上连续，根据方程(7)，必须

(11)

则方程(10)可以写为：

(12)

于是，为使方程(5)可解，以下三个条件必须满足：

(Ⅰ)当把z=βj(j=1,2,…,n) 代入(12)及其直到μj-1阶导数时，式子两边不能出现矛盾；

(Ⅲ)在(12)左边令z→βj(z∈D+,j=n+1,n+2,…,n+q)时，必须确保(11)成立.

(13)

(14)

式中k=m+1,m+2,…,m+p.(13)、(14)合在一起是{Cjr}的一线方程组.因此，条件(Ⅱ)相当于条件(Ⅱ)0. 由(13)、(14)组成的关于{Cjr}的方程组相容.

下面验证条件(Ⅲ)是无条件成立的.

所以条件(Ⅲ)无条件成立.

这时，在(12)中令z→t取边值(根据引理1，对F+(t)的Plemelj公式成立，且Φ+(t)∈H)，所以有：

(15)

式中:

(16)

2)当C2=1时，需要C1=0才可得到φ(t)的表达式：

(17)

式中C为任意常数.

综上所述，便得以下定理.