核心素养下的数学实验教学研究*

广东省广州市南沙东涌中学(511453) 霍锐泉

核心素养, 是学生为适应未来发展所具备的品格和关键能力.数学核心素养,是数学课程目标的体现,是学生在数学学习过程中逐步形成的.专家学者普遍认为数学核心素养包含六个方面(如图1).

图1

数学实验,是指学生利用相关实验工具(如纸张、模具、测量软件(工具)、作图工具、计算器(机)等),在一定的实验环境或条件下进行的数学思维活动,其目的在于通过实验获某些数学知识或验证某个数学猜想、数学结论,解决一些数学问题,是一种以学生亲身动手参与实验操作为特征的数学探究实践活动.其基本目的是让学生通过实验发现、验证和丰富自己的数学认识,促进数学核心素养的发展.

1 数学实验提升学生几何直观能力

数学是集抽象思维和逻辑思维于一身的学科,一直给人抽象的感觉,相当部分学生对数学学习有困难.对于初中学生来说,他们的抽象思维能力还在形成和发展当中,在思考数学问题时更多的是借助形象思维,借助实物或者具体的图像.2011年版的《义务教育数学课程标准》指出:“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.”几何直观可以让学生借助图形进行思考,让学生直观地理解数学,在数学学习过程中有重要的作用.而数学实验能以一个直观形象的方式呈现,为抽象的数学提供直观;使静态变为动态,使抽象的知识直观化与具体化,为学生学习数学提供直观形象的展现;使抽象难懂的数学知识转变为形象直观的感性知识,通过借助形象直观的数学思维促进学生把感性的知识上升为理性的知识.

案例1剪纸实验验证公式:a2－b2=(a+b)(a－b).

实验目的通过剪纸体验由“形”到“数”的结论,并能借助图形反映出部分“数”的几何意义.

实验准备剪刀、白纸, 装有“几何画板”的计算机.

实验内容及步骤实验探究1:1.如图2,在边长为a的正方形中剪下一个边长为b的正方形,则余下面积为:____

图2

图3

图4

2.探究: 除了以上方法表示纸片的面积外还可以用怎样的方法表示呢? (1)如图3,沿虚线部分把纸片剪开,得到两块长方形纸片;(2)如图4,把小长方形纸片与大长方形纸片重新组合成一个新的长方形;(3)可得新的长方形的面积为:____.由此可得结论:____.

设计意图引导学生动手操作, 自主探究, 通过观察图形,计算阴影部分的面积,发现规律,进行归纳,初步感受平方差公式可以利用图形的前后变化,进行直观的验证.剪去小正方形后,图3 的面积为a2－b2.沿着图3 的虚线剪下小长方形,拼成长为(a+b)、宽为(a－b)的大长方形(图4),图4 面积为(a+b)(a－b).而图3、图4 的面积是相等的,由此可得出平方差公式:a2－b2=(a+b)(a－b).

实验探究2: 如图5,在边长为的正方形中剪下一个边长为b的正方形,把阴影部分拼成梯形(图6),分别计算图5、图6 的阴影部分面积,根据前后两者图形的变化,你还能验证到平方差公式吗?

图5

图6

设计意图让学生从另一种探究方式,得出平方差公式的又一验证方法,进一步感受可以利用几何直观验证平方差公式.图5 中阴影部分的面积为a2－b2; 图6 中梯形的上下底长分别为2b、2a,高为a－b,根据梯形面积公式可知图6 的面积为化简可得:a2－b2=(a+b)(a－b),因而平方差公式得到验证.

希尔伯特曾经说过:“图形可以帮助我们找到解决数学问题的思路,图形能帮助我们理解和记忆我们所得到的数学结果.”数学实验使得抽象的数学以形象直观的方式呈现,利用数学实验教学,能进一步培养学生的几何直观,增强运用图形的意识,提升学生的数形结合能力,抓住事物的本质特征,感悟知识之间的内在联系,促进学生更好地理解和掌握相应的知识.

2 数学实验增强学生数学建模能力

建立数学模型是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径,可以起到沟通理论与实际的中介桥梁作用.通过数学建模,让学生领会数学建模的思想方法,感受数学的应用价值.引导学生对具体的生活情境进行分析、研究、探索, 构建实际问题的数学模型, 然后用观察、猜想、实验、证明等方法,求解出模型的结果,再应用到实际问题中,实现问题的解决.让学生经历数学建模的过程,在抽象—建模—求解—验证—概括的深度思考中不断总结提升数学建模能力.

案例2最短路径问题

实验目的通过几何画板软件探索轴对称中的最短路程问题.

实验准备三角板、装有几何画板软件的计算机.

实验内容及步骤实验探究1: 将军饮马问题

著名的“将军饮马”问题: 如图7,有一位骑马的将军,要从A地到B地,途中要到河边l饮马,则将军怎样走才能使全程最短?

图7

图8

1.构建数学模型

把A地、B地抽象成两个点,把河边l抽象成一条直线,设C为直线l上一点,A、B为在直线l同一侧的两个点,则当点C在l的什么位置时,AC与BC的和最小.

2.纸上探究

让学生独立思考,在草稿纸上画图,通过不同角度的测量实验进行初步分析、猜想点C的位置,然后小组合作交流、讨论,形成共识并展示.

3.几何画板探究

(1)利用几何画板画出点A和点B,直线l;

(2)在直线l上选取一点C,连接AC,BC;

(3)选中线段AC,BC,点击“度量”菜单中的“长度”,量出AC和BC的长度,再点击“数据”菜单中的“计算”,计算“AC+BC”的长度.

(4)拖到点C左右移动,观察“AC+BC”的长度变化情况.

图9

图10

(5)双击直线l,标记为镜面,再点击点A,点击“变换”菜单中的“反射”,作点A关于直线l的对称点A′;

(6)连接A′B,与直线l交于点P,选中线段AP,BP,点击“度量”菜单中的“长度”,量出AP和BP的长度,再点击“数据”菜单中的“计算”,计算“AP+BP”的长度.

(7)再拖到点C,比较“AC+BC”的长度和“AP+BP”的长度.

设计意图此类问题的数学本质,是建立一种数学模型:在一条已知直线上作一点,使该点与直线同侧两定点的连线长最短.让学生拖动动点C,启用几何画板的测量功能,进行动态测量探究,直观感受通过图形的轴对称变换.利用轴对称将两条线段转到同一直线上,把“同侧线段和”转化为“异侧线段和”,根据“两点之间,线段最短”即可.让学生体会和感受“难化易、繁化简”的数学思想.

实验探究2: 造桥选址问题

问题呈现: 如图11, 一条两岸平行的小河, 把A地B地分隔开,现需在河上建一座桥MN(假定桥与河垂直) , 在桥的何处位置, 才能使A地到B地的路程最短(即AM+MN+NB)?

图11

1.构建数学模型

如图12,所走的路程为“AM+MN+NB”,而MN为河岸宽度(桥宽)是一个定值,所以“AM+BN”的值最小即为最短路径.

2.实验探究:

(1)学生先独立思考,画出草图,通过不同角度的测量实验进行初步分析、猜想、论证点M、N的位置,然后小组合作交流、讨论.

(2)如图12,线段MN是固定的长度,学生通过拖动点M,观察“AM+NB”数值的变化,验证与自己的猜想是否相同.

图12

图13

(3)在利用几何画板实验后,学生得到如图13 是最短路径的图形, 提问学生如何得到此图形.(将点A沿着垂直于河岸的方向平移MN的长度到点A′,即AA′=MN,连接A′B,则线段A′B与河岸b的交点就是点N.过点N作与河岸a的垂线,交河岸a于点M,连接AM,即可得到最短路径“AM+MN+NB”.)

设计意图实验的过程中重点引导学生运用类比的方法,上面的实验探究2 利用了平移.要学生体会运用平移的关键是抓住“定长线段”的平移方向和平移距离进行相应的平移,最后转化为“两定一动型”模型的最值问题,而“两定一动型”的模型回归到“两点一线”模型的建构过程.大道至简,最后落在“两点之间,线段最短”,把“化曲为直”,体会类比和转化思想的价值和精髓.

如图14,“问题情境——建立模型——求解——解释和应用”,是利用数学实验进行数学建模求解的基本过程.在构筑实际问题的数学模型时,在教师的引导下,学生进行观察、猜想、实验、验证等一系列活动,把实际问题转化为数学问题.教学中要重视学生的操作实践,让学生在建模的过程中领悟数学知识的生成与发展.在进行数学实验实践的基础上获取数学活动经验,再返回到实际问题中实现问题解决.所以,数学实验可以提升学生的数学建模能力.

3 数学实验发展学生数据分析观念

2011年版的《义务教育数学课程标准》强调:“数据分析是统计的核心.”数据分析观念包括“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析做出判断,体会数据中蕴涵着信息.”在统计的教学中,根据学生的生活背景设计合适的身边例子,让学生感受数学就在我们生活中,鼓励学生亲身经历数据收集、数据整理、数据分析的过程,最后依据数据做出决策和推断.体会数据所蕴涵的信息,感受数据分析的应用价值.

案例3关于东涌绿道的建设与构建的调查研究

“纸上得来终觉浅”,为了发展学生的数据分析观念,结合学校周边的资源,我们组织学生进行了“关于东涌绿道的建设与构建的调查研究”的实验活动.学生经历了从设计调查问卷到整理数据得出结论的全过程.在调查活动中,发放问卷200 份,回收189 份,调查者包括到东涌绿道的游客、在校学生、教师以及政府人员.调查问题的问题涉及绿道环境、旅游宣传、设置设施及绿道发展等16 个问题,利用所学的统计知识进行整理和分析,如问题: 您通过什么途径了解绿道(可多选);您认为有什么不方便的地方?

问题分析: 大部分游客通过亲友介绍得知东涌绿道的;需要加强专题旅游资源宣传,电视台和报纸媒体的宣传力度.分析: 大部分游客认为指示不明确,交通不够便利,配套设施不够完备.东涌绿道的建设有待进一步发展,需要大家的力量,尤其是增加游客的数量,这就需要我们将东涌绿道的建设更加完善,功能更加齐备,吸引更多的游客参观.

图15

图16

通过数据分析,学生们总结如下:

1.游客对绿道这种集生态和知识于一体的绿道表示满意.

2.人们了解绿道的途径不够广泛,导致人们从网络、电视电台等各种渠道了解到的绿道游玩路线不明确,对于绿道的指示不明确、公用设施不齐全表示希望改善,一些人对绿道的餐饮服务不满意,对绿道的宣传力度有待加强,但游客总体对绿道的印象表示满意.

3.绿道种植的植物使绿道充满了生机,受到了的游客的一致好评,但是这里的植物、展品还不够丰富,相关贴心介绍还有待改进.

4.绿道旁相关经营存在不足,需有关部门加大整治力度.

5.游客表示对绿道应该通过媒体多方面宣传绿道,并且表示自己会加入宣传绿道的队伍;同时政府应加强管理,吸引更多的游客体验这种原生态的魅力;部分游客表示可以增加政府投入,发展观光业.

在这次活动后,学生写下自己的体会: 在研究过程中不仅使我们开阔了视野,增长了知识,学习到了许多在课本上没有学到的东西.例如,我们在户外进行调查、采访时遭到质疑,我们及时调整调查策略,选择更加合适的方式方法.这次活动提高了我们的团队协作能力、社交能力,培养了我们独立思考问题和变能力,以及探究新事物的科学精神.在实际调查中,我们运用数学调查方法解决实际问题,一次很好地把理论应用于实践的学习过程.作为一名中学生,我们可以关心社会,尽自己的能力,为政府出一份绵薄之力.

在本次实验活动中,学生经历了数据收集、数据整理、描述数据、数据统计、数据分析、得出结论的过程.这次活动不仅有利于统计知识的深入学习,而且具有“学以致用”的教育价值,让学生充分关注生活,体会“数学源于生活,又应用于生活”.让学生感受数学对解决生活实际问题的应用价值.我们做生活的有心人,把数学与生活相联系,数学问题生活化,要用数学的眼光看待生活中的问题.在数学教学中,要为学生提供实践的机会,让学生观察、思考、操作,体会数学无处不在,感受数学的魅力,体验数学的趣味和作用.通过这次调查研究,数学素养也得到提升.通过亲身进行实地调查的实验方式,提升了学生的实践能力,强化了学生数学应用的意识和能力,从而达到发展学生数学核心素养的教育目的.

发展学生数学核心素养,要学生真正参与到数学教学活动中去,不能依赖教师的教学传授.在数学实验的过程中,每一位同学都可以进行相应的动手、动脑的实验操作,完成知识的自我建构,体验成功,享受数学欢乐的魅力.通过“亲身经历”实验的过程,使学生对所学知识有更深刻的理解,达到更深层次的掌握,从而促进学生数学核心素养的发展,是纯粹的传授所不能达到的.数学实验能够让学生的手与脑得到充分的锻炼,很好地提升学生的数学能力,促进学生数学核心素养的发展,数学实验是提升学生数学核心素养的有效途径.