数学审美教育的有效之道*——以“6.5垂直(2)”教学设计与实施为例

江苏省无锡市西漳中学(214171) 钟 鸣 张 泉

苏霍姆林斯基曾说:“没有审美教育,就没有任何教育.”而以空间形式和数量关系为研究对象的数学学科,包含丰富的结构、对称的图形、合理的布局、简洁的符号,无不体现美学特征,这为数学学科实施审美教育提供了有利条件.《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下文简称课标)在总目标中规定:“了解数学的价值,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心,养成良好的学习习惯,具有初步的创新意识和科学态度[1].”这显然离不开数学审美教育的长期实践.

1 聚焦数学审美的教材解读

“6.5 垂直(2)”是苏科版《数学》七年级上册第六章“平面图形的认识(一)”第五节第二课时,也是第六章新课的最后一课,主要内容是垂线段及其性质、点到直线的距离.

课标要求:“理解垂线段的概念和点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离.”针对课标要求,教材进行了如下设计: 通过跳远和人行横道的实际例子感知“垂线段最短”的性质;通过“做一做”的观察、操作、比较,从数学内部感知“垂线段最短”的性质; 通过“阅读”运用推理的方法, 确认“垂线段最短”的性质;在“垂线段最短”的性质的基础上,引入“点到直线的距离”的概念; 通过“试一试”巩固垂线的概念和画法,巩固“垂线段最短”的性质和“点到直线的距离”的概念.

这其中,在实际例子感知中体验数学抽象,发展抽象思维,认识数学的抽象美;在数学内部感知中经历探究活动,发展合情推理,认识数学的理性美;在确认性质中运用数学方法,发展演绎推理,认识数学的严谨美;在引入“点到直线的距离”概念中联想“两点间的距离”,发展类比思想,认识数学的统一美;在“试一试”中训练作图技能,发展空间观念,认识数学的应用美;在“课堂小结”中表达学习感受,升华数学内涵,认识数学的文化美.

2 围绕数学审美的教学设计

学生已经学习了垂线的概念、画法,具备了本节课学习的知识基础.学习了“两点间的距离”,具备了类比学习“点到直线距离”的知识基础.在前面的学习中,学生体验了数学抽象、数学归纳、演绎推理等数学思想方法,具备了迁移学习的基础.有了这些基础,只要在恰当的时候为学生揭示其中美的特征,学生能够比较自然地感受到知识前后一致的统一美、数学化的抽象美.但是学生对于利用基本事实证明还比较陌生,对于感受数学的严谨美、应用美,需要细致地引导和必要的提示.

(4) 丁同学的观点是消除叶中原有淀粉和____________对实验结果的影响，体现了实验的科学性。消除叶片中原有淀粉的方法是____________。

3 致力数学审美的教学实施

3.1 直观中感受数学美

图1

点了一道肉丸青菜汤——不知如何赞美江南人的精细吃法。那样子的鸡毛菜，我在合肥十四年，没有遇见过一棵。小而嫩，入嘴微甜。这种鸡毛菜，只有芜湖、南京一带的江南人，才晓得吃。早年，在小城吃麻辣烫时，必点鸡毛菜。一份一元钱，老板用拇指、食指、中指合拢，捻一扭儿下到高汤里，立即捞起，盖在碗尖上，端给你。几筷子吃尽，不过瘾，再烫一份……这些都是美好记忆。当日天热，身体疲乏，也没有骑车去冰冻街寻访“明明麻辣烫”了。

(1)怎样测量跳远成绩? (2)从人行横道线上过马路,怎样走线路最短?

设计意图感受数学的理性美: 提出初始问题,引导学生用数学的眼光观察世界;感受数学的简洁美: 在学生用生活的语言表达的基础上,要求学生简洁、清晰地表达想法.

3.2 活动中深入数学美

怎样证明“垂线段最短”呢?

3.3 ATG9和小泡膜蛋白1 在酵母细胞中，ATG9来源于高尔基体膜的单层囊泡，这些ATG9囊泡在胞质快速运动，并整合到自噬囊泡外膜上[14]。形成成熟自噬体后，哺乳动物细胞ATG9并未整合到自噬体囊泡上，而是又游离进入胞质，其对于酵母和哺乳动物自噬体膜的扩展起重要作用[15]。

(1)过点P画OA的垂线,垂足为H;

设计意图要精确刻画问题、清晰思考问题,不得不进行数学抽象,将生活场景抽象成简洁的数学图形,从而感受数学的抽象美和简洁美.

图3

(2)这两个不同的问题,都能抽象出一个共同的数学图形——图3.在图3 的直线l上,取点Q1,Q2,Q3,···量出线段PQ1,PQ2,PQ3,···的长度.在这些线段中,哪一条最短?

(3)这样一条特殊的线段叫做: 点P到直线l的垂线段.

(4)根据上面的过程,你能获得什么结论?

我认为苏轼“东坡饼”的发明不仅是偶然的，他也是必然的。因为苏轼当时虽身处困境中却始终能将困苦的生活过得生趣盎然，他总是能发现生活中的乐趣，带有一种幽默感。所以这样一个热爱生活具有豁达情怀的人，他也一定会品尝出简单的“东坡饼”所蕴藏的美味。如此豁达情怀，苏东坡不是第一个，也不是最后一个，但却是做的最淋漓尽致的那一个。他用自己的逆境为中国创造了一道美食“东坡饼”。

垂线段最短: 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.

随着科学技术的不断发展，同步交流发电机广泛应用于航空航天、国防军事、工农业等领域[1]，其结构较为复杂且功能繁多，其中旋转整流器作为同步交流发电机的核心部件，不但整体结构受机械振动的影响，同时还承受较大的离心加速度和机械应力，所以旋转整流器属于故障频发模块，因而对其进行故障诊断研究具有重大意义[2]。

设计意图在取点度量中发现特殊线段,自然引出“垂线段”的概念,经历作图、观察、测量、归纳的活动过程,积累数学学习经验,感受数学的和谐美.

活动2 想一想、证一证

活动1 议一议、做一做

(1)将图3 放入方格纸中,如图4,画出所给图形沿直线l翻折后的图形,设点P关于直线l的对称点P1;

第二，重新梳理并建立完善了全院的技术数据库，实施动态管理，包括医院每一个专科的技术开展情况，实现了对医疗技术的全过程管理，做到有迹可循、有据可依，管理流程更加规范合理。

图4

(2)图中,Q4P1与Q4P、Q1P1与Q1P、Q6P1与Q6P相等吗? 为什么?

(2)过点P画OB的垂线段,交OA于点C.

24 h动态心电图数据经计算机处理，转化为以RR间期为纵坐标的序列图。判断并标记该心动周期属于心率减速还是心率加速周期。判断心率段长短值，进行不同心率段的有序分列。对不同心率段进行位相整序，应用DMS动态心电记录分析系统，自动计算出心率减速力和心率加速力。DC值≤4.5 ms提示迷走神经兴奋性降低；AC值>-7.0 ms提示交感神经活性减弱[4]。

设计意图操作、观察发现结论是学生从小学就熟悉的方式,如果说小学数学更多的是“是什么”及释疑,那么初中数学更多的是“为什么”及证明.从已有事实出发,凭借确定的规则,按照逻辑法则进行推理,这是证明的实质,即演绎推理.在这样的过程中,带领学生感受数学严谨美.

活动3 比一比、说一说

设计意图通过对比,让学生认识到“两点距离”与“点线距离”内在是一致的: 都是用最短的线段长作为距离.类比“两点距离”定义,给出“点线距离”定义,感受数学知识之间的内在一致性,认识数学的统一美.

(2)类似于“两点间的距离”,因为“最短”,所以同样给它一个特殊的名称——点到直线的距离.定义: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

(3)“两点距离”与“点线距离”之间有何区别和联系?

区别联系性质距离两点间的距离两点之间,线段最短线段的长度都是最短的长度;垂线段的长度本质上是点和垂足两点间的距离.点到直线的距离直线外一点与直线上各点连接的线段中,垂线段最短.垂线段的长度

(1)利用基本事实“两点之间, 线段最短”, 我们证实了:直线外一点与直线上各点连接的线段中,垂线段最短.在课堂开始的两个问题中,垂线段的长度具有怎样的实际含义?

3.3 例题中体验数学美

例1如图5,P是∠AOB的边OB上的一点.

观察图1 中的两张图片,思考问题:

(1)为了更清晰思考问题,我们将问题抽象成数学图形.这个数学图形怎么画? 请在图2 中画画看.

施术准备阶段帮助患者清洁皮肤进行消毒处理，可问询患者疼痛耐受度，大部分患者无需麻醉，其他怕疼的患者进行心理疏导后放松心态接受诊疗，操作中将火针的针尖部位置于酒精灯之上逐渐烧红，稳定其热量快速的置于扁平疣部位，针柄用布包裹，以不导热为宜，而后刺入患者的病患区域，待针稍有冷却后继续烧红反复操作，一次将患者的扁平疣清除干净，注意针要烧透，这样灭菌效果好痛感小，垂直要直刺正中一下。刺入程度不宜太深，入皮最多1～2 mm。皮损较大的的情况下，利用三头火针直刺，小部分的皮损可利用粗火针斜刺[2] 。

(3)要说明的“Q4P ＜Q1P、Q4P ＜Q6P”与上述的翻折有何关系呢?

图5

分别比较线段PH与PC、PC与CO、PH与CO的大小,并说明理由.

芯片写控制模块:接收链路的系统结构如图1所示,要完成对某种特定通信系统的接收需要对2个单刀双掷开关、高/低通路2个型号为ADL5243的可变增益放大器VGA芯片、3个型号为ADF4350频率发生器芯片和1个型号为AD9230的模数转换器芯片进行FPGA配置。通过FPGA对这些芯片的写控制实现对GSM/WCDMA/CDMA2000/TD-SCD MA/LTE信号的接收。

固井完后，通过测声幅数据分析，在馆陶底部、生物灰岩层、玄武岩层均发生渗漏现象的低承压地层固井质量合格，说明雷特堵漏钻井液技术有效的封堵地层和修复了井壁。

设计意图数学是精确的、严谨的,垂线和垂线段仅有一字之差也是学生容易忽视的,通过(1)(2)的画图,区分细微差别,感受数学的严谨美;比较大小并说理,引导学生利用所学数学结论有依据、有条理地表达,感受数学应用美和理性美.

3.4 小结中显化数学美

(1)你在垂线段性质发现和证明的过程中,有何感受?

(2)“两点距离”与“点线距离”的区别与联系让你对数学知识有怎样的认识?

设计意图在小结环节,引导学生回顾,并把自己内心对数学的认知和对学习的感受表达出来,内涵外显升华情感体验,在这个过程中揭示数学的文化美.

4 数学审美的教学再思考

中国科学院袁亚湘院士说:“学数学要领悟到数学的‘美’,有些学生感受不到数学美,是数学教学方式的问题.”诚如其言,数学简洁漂亮的结果、丰富深邃的思想、严谨细腻的论证、理性思辨的思维,这些美都内蕴在数学知识的发生、发展和应用之中.在这个过程中,学生能感受到数学的美,就会进一步增强“四能”的内动力,提高学习数学的兴趣和探索数学本质的欲望,数学学习就能直抵知识背后的原理,激发创新意识,培养创新能力.可见,在数学教学中,美育和智育是密不可分、互相联系、相辅相成、相互促进的.在数学教学中,打开数学知识内核,揭示数学知识的审美特征,将教学活动转化为审美活动,挖掘数学的独特魅力[2],以此促进数学审美的实现.

打开知识的内核数学课堂教学,不能仅停留在讲授基本知识层面,更应该关注知识的深层意义建构,即知识的内核.因为在更深的意义层次上,知识与能力、思想与素养是共通的,真正拥有知识的人是有见识的人,是有思想的人,是会思考、会学习、会解决问题的人,是能够发现和创造美的人.打开知识的内核,能加深学生对知识的理解,推进学生对数学美的体验.例如针对这节课的重难点——“垂线段为什么最短”这个问题,老师并没有满足于学生经验感知的浅层次理解,而是设置有效的问题串和活动串,引导学生忆一忆、想一想、画一画、试一试,激发了深度的思维,进而将问题转化到了方格纸中,建立了“两点之间,线段最短”与“垂线段最短”这两个位于本章首尾知识点间的联系,找到了垂线段最短的本质原因.学生亲历这个完整的探究活动,不仅两个概念间的关系理解得更加深刻, 整章知识系统得到了建构和完善,而且积累了研究数学问题的经验和方法,体验了思考研究的趣味性与成就感.总之,打开数学知识的内核,有助于体会知识之间的内在联系,感受数学规律的形成过程,提炼数学思想方法,培养数学理性精神[3].更值得关注的是,老师敢于打开疑难问题知识内核的科学态度,会对孩子产生潜移默化的积极影响,这彰显了数学精神之美、文化之美.

挖掘数学的魅力要在每一节日常数学课中挖掘资源、创造时机,让学生感受数学震撼人心的独特魅力.例如,这节课在理解“垂线段最短”的过程中,首先呈现“跳远”和“人行横道”的生活实例,学生用生活语言表达不清;第二,自然地进行数学抽象,进行数学思考,学生能从直观上接受“垂线段最短”;第三,直观上接受是否一定正确,再引导学生测量验证;第四,直观接受、测量验证也正确就无懈可击了吗? 这样就把学生逼迫到一个不得不去思考如何确信无疑地论证这个结论的地步.从已知事实和确定规则出发论证数学结论的经历,学生几乎没有.此时需要给学生一些基本框架,才能促进学生进一步思考.此处学生唯一能够联想到的就是“两点之间,线段最短”.通过问题“让图形运动起来是研究图形性质的基本方法,通过怎样的图形运动可以把这个问题与‘两点之间线段最短’联系起来呢? ”把学生的思维引导到“翻折”转化上.因为学生目前只会在方格纸中画翻折后的图形,所以需要把图形放到方格中.最后,问学生:“两点之间线段最短,你能否认吗? 既然这个你不能否认,那么由它推导出来的结论你能否认吗? ”学生众口齐声回答:“不能.”教师接着总结点评:“这就是数学思维无可置疑的力量,这就是数学撼动人心的独特魅力.”在这个过程中,学生真切地感受了,深刻地理解了,因而有了深远的启迪.课堂上,学生自发地鼓掌,掌声久久不息.有魅力的数学课堂,能激发学生享受数学美、追求数学美的情感共鸣!

数学中处处存在美,小到一个数学表达,大到数学文化的发展历程.数学教师应着力研究数学美学问题,深入挖掘教学资源,大力培养学生的数学审美能力.如果每一位数学教师都能用数学内在的美去启发学生观察、联想、思考和探索,有朝一日就一定能实现数学课程的终极目标——应用数学美和创造数学美.