数学探究让课堂成为好玩儿的地方*——记一堂“函数视角下的数列问题探究课”

江苏省无锡市市北高级中学(214045) 胡蓓蓓 朱小俊

传统的数学教学,以知识传授为主体,数学活动仅局限在被动接受、理解记忆和模仿训练上;而新课标要求普通高中数学课程以发展学生数学学科核心素养为导向,“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”,为学生的可持续发展和终身学习创造条件.这就意味着教与学的方式需要改变,从“知识本位”的被动应试学习,转型为“素养本位”的能动探究学习.笔者在一次高三国培公开课上听到朱小俊老师的“函数视角下的数列问题探究课”,对课堂教学中浓厚的探究味儿印象深刻,现整理出来,与大家共飨.

1 基本情况

授课对象学生来自江苏省一所四星级普通高中的重点班,基础较好,学习数学的热情高,有一定的独立学习能力、自觉思考的习惯和合作探究意识.

教材分析函数和数列作为高中阶段的重难点,是数学学习路上的两个绊脚石,教师需要思考如何在高三复习中克服难点、突破重点.数学知识的讲解不是纵贯式,而是螺旋式上升的,数列作为特殊的函数,正好提供契机,在巩固函数知识的同时,也能加深对数列的理解.

2 教学片段赏析

2.1 课前热身

已知数列{an}中

(1)若c=5,则an的最小值为____;

(2)若an≥5 恒成立,则实数c的取值范围是____;

师: 与函数的恒成立问题一样,本题有两条常用解题思路: (1)直接求an最值;(2)分离参数,显然优选法二,直接求an最值的情况比较复杂.

(3)若数列{an}是单调递增数列,则实数c的取值范围是____.双钩函数图象知,

生1:c≤0,{an}在R上单调递增,符合题意;c ＞0,由

生2:a1＜a2＜a3＜···,即递增数列的符号语言表示:an+1－an ＞0 恒成立.

师: 两位同学从不同角度完成本题: 生1 结合函数图象研究数列的单调性,生2 根据数列单调性的定义,列出恒成立的不等关系,但两种做法的答案却不一样,到底谁的方法出现了错误呢?

同学们一致表示图象法有问题,却又说不清楚到底错在哪儿.

师: 到底可不可以用图象做呢? 现在我们就带着这个困惑进入今天的主题:“函数视角下的数列问题”!

评析以数列为背景, 将函数常见的最值、恒成立和单调性问题作为课前热身,让学生初步感悟函数与数列之间的联系与区别.通过课前统计: 第3 问答对的仅12 人(全班49人),引发认知冲突,教师产生设计本课题的想法.

2.2 例题探究

例1(必修5 第48 页11 题) 已知等差数列{an}中,a1=－3,11a5=5a8,求前n项和Sn的最小值.

生3: 用基本量a1和d表示Sn,根据Sn二次函数图像先减再增得最值;

生4:an= 2n －5 为n的一次函数, 单调递增且a1＜a2＜0＜a3＜···, 显然n= 2 时Sn取得最小值.

生5:an=Sn－Sn－1(n≥2),法二判断an符号本质就是研究Sn的单调性先减再增.

评析例1 从课本典型习题着手,带领学生回顾等差数列前n项和最值问题的常用思路,并进一步升华,探究题目本质,培养逻辑推理能力.

为了强化对等差数列前n项和的理解, 教师特设计了一个开放型变式, 请学生填空: 等差数列{an}, 若____, 则n=____时Sn最小.

教师先示范: (1)若d ＞0,a5= 0,则n= 4 或5 时Sn最小;

当然也可以从Sn角度思考: (2)若d ＞0,S4=S5,则n=4 或5 时Sn最小;

同学们跃跃欲试,提出不少有新意的变式(现摘录几个最具代表性的如下):

(3)若d ＞0,a4＜0,a5＞0,则n= 4 时Sn最小; (4)若d ＞0,S3= 0, 则n= 1 或2 时Sn最小; (5) 若d ＞0,S5＜0,S6＞0,则n=3 时Sn最小.

评析开放性的题目设计,真正以学生为主体,培养他们发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力.将以往由教师传授知识,改为学生主动思考、探索,通过自己的努力不仅获取了知识,而且学会思维、学会探究、学会创新,数学核心素养得到了很大提升.

师: 利用一次函数、二次函数研究完等差数列前n项和的最值,接下来我将和同学们再一同来类比探究等比数列前n项和的问题:

探究已知等比数列{an}中,首项为a1,公比为q,前n项和Sn,是否存在实数λ,µ,使得λ≤Sn≤µ恒成立,若存在,求出λ,µ范围?

特殊化做法

师: 对于复杂问题,不妨先将其特殊化,寻找到解题方向,再检验一般情形.当q= 1 时{an}为常数列,Sn=na1单调递增,此时a1=S1≤Sn,µ不存在,λ≤a1.

生6:q ／= 1 时,Sn=是一个与指数函数有关的形式,需要对q分类讨论.

师: 下面就请同学们分小组合作,分别探究0＜q ＜1;q ＞1;－1＜q ＜0;q ＜－1;q=－1；q= 1 时λ,µ的范围.(下附学生课后的完整过程整理: 左边特殊化做法,右边未特殊化)

未特殊化做法

探究以开放性问题启动开放性的课堂教学,为学生思考、发现、探索和创新提供了最大空间,既有学生独立思考的个体活动,又有师生、生生间合作、讨论的群体活动,充分发挥学生的主观能动性,培养出具有良好数学核心素养的人才.

2.3 例题拓展

例2(1)已知数列{an}中an=n2+λn(n ∈N*)是单调递增数列,则λ的取值范围是____.

师: 热身(3)已经回顾了数列单调性求参数范围的两种常用方法: 定义法是通法,而数列是一种特殊的函数,借助图象本题可以得到n对≤1,正确吗?

生8: 可以得到{an}为单调递增数列,但并不是充要条件,因为数列图象是离散的点,所以a1的对应点也可以在对称轴的左侧, 其余点在右侧.将两种情形全部考虑进去, 即

师: 那么现在课堂开始遇到的困惑也就迎刃而解:c ＞0时借助双钩函数图象,只需且保证a1＜a2.

生9: 还可以把an=n2+λn(n ∈N*)看成是d ＞0 的等差数列{bn}的前n项和,和单调递增,即从第二项起,每一项都应大于0,故只需b2=a2－a1＞0.

师: 有如醍醐灌顶,原来为了解题需要,也可以将Sn看作一个特殊数列的通项公式,在an与Sn之间灵活转化.

评析学生通过思考、探究等手段得到多种解决问题的路径,抽象出蕴含其中的一般性思想方法,从而迁移到类似问题中,实现对知识的“再创造”.

(2) (16 全国) 等比数列{an}满足a1+a3= 10,a2+a4=5,则a1a2...an最大值为____.

(3)(17·无锡期末改)已知数列{an}中,an=前n项和为Sn;当n ∈N*时,λ ＜S2n－Sn恒成立,求实数λ的取值范围.

评析题(2)是等差数列前n项和最值问题的类比,既是例1 的强化,又对前n项积这个新知加深理解;题(3)引导学生明确恒成立、最值、单调性三者之间的转化关系,同时也是对例2(1)中单调性问题的变式拓展,对多种解法进行策略选择: 没有了解析式、图象这些工具,单调性问题只能回到定义: (S2n+2－Sn+1)－(S2n－Sn),强调通性通法.

2 感悟与反思

3.1 探究教学促进学生自主建构

探究课的教学,就是要建构一种有利于学生终身发展的多元化学习方式,波利亚说“学习任何知识的最佳途径都是自己去发现,因为这种发现理解最深刻,也最容易掌握其内在规律、性质和联系”.学生像科学家发现真理一样,自主探索、合作讨论得出结论,获得学习数学的成功与满足感;教师则充当合作与促进者,引导学生通过类比、归纳、特殊化等方式构造题目,实现更深层次的思考与创新,并讲解自己发现的数学问题,在交流探究中思维产生碰撞,将“冰冷的美丽”的数学学术形态转变成学生“火热的思考”的教育形态,促进学生对知识意义的自主建构.

3.2 问题引领开放性课堂

教师在学生的“最近发展区”上设计问题,让学生思维逐步逼近问题的“核心地带”,激发探究意识,体验知识的建构过程,发展学生的数学核心素养.让问题开放、教法开放、思维开放,将课堂还给学生,允许他们质疑、评价,用自己的观点和方法,多角度、多方向地分析问题、解决问题,体会数学思想方法的价值,培养发散思维能力.这样培养出来的学生不仅能够获得和巩固数学基础知识与基本技能,还可以经历数学知识形成、发展和应用的完整过程,拓宽学习视野,丰富数学想象,积累活动经验,形成基本的研究方法和解题策略.

3.3 探究教学任重而道远

在教学过程中,教师根据教学内容和学生实际,不断调整和改进课堂教与学的形式,丰富学生学习样态,适时适当适度地组织探究活动,将“讲授示范+练习巩固”与“合作探究+展示交流”等学习方式有机融合[1].实践经验表明: 每个高中生都具有充分的发展潜能,既使是学习成绩落后的同学,也有较强的探索欲望和创造性解决问题的能力.但由于探究教学的开放性,对教师和学生的要求较高,实施难度较大,很多教师都更愿意沿用传统教学法.如何从传统教学过渡到探究教学,变被动学习为主动学习,使数学课堂真正成为好玩儿、有意思的地方,是值得我们每个数学教师认真研究的课题.