二次函数与几何综合的典型问题探究

赖藩培

[摘  要] 几何面积问题、直角三角形存在性问题是二次函数与几何的两大典型问题，问题融合了二次函数的基础知识和几何特性. 问题情景不同，可使用的方法、构建思路也有所差异，文章以一道考题为例探究其解法，并总结两大问题的解题策略，开展教学反思，提出两点建议.

[关键词] 二次函数;几何;面积;特殊三角形;思想方法

探究背景

二次函数与几何的综合探究题涉及二次函数、几何图形两大知识模块，所涉问题类型较为多样. 其中含有基础性问题，也涉及难度较大的综合性问题，如求解函数解析式、点坐标、线段长，剖析几何面积、角度大小，探究特殊图形、特殊关系存在性以及融合动点、图形运动的动态问题等. 采用数形结合、构建解题模型是突破二次函数与几何综合题的常规策略，解析过程需要把握问题特点，针对不同问题选用对应方法来构建思路. 本文将以三角形的面积问题、特殊角度存在性问题为例，进行深入探究.

探究示例

例题：（2020年通辽市中考卷第26题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C. 且直线y=x-6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N.

（1）求抛物线的函数解析式;

（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标;

（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

问题解析：

第（1）问：求抛物线解析式

一次函数与坐标轴的交点分别为点B和点D，已知一次函数解析式为y=x-6，可求得点B（6， 0），D（0，-6），点C与点D关于x轴对称，则点C（0，6）. 点B和C均位于抛物线上，将两点坐标分别代入抛物线的解析式中，有-36+6b+c=0，c=6，可解得b=5，c=6，所以抛物线解析式为y= -x2+5x+6.

第（2）问：解析△MDB的面积

如图2，△MDB中，点B和D是定点，点M是位于抛物线上的动点，使用铅垂模型求解，即MN将△MDB分割为有公共底的两个三角形：△MND和△MNB，则其面积S=S+S=MN·x-x. 设P（m，0），则M（m，-m2+5m+6），N（m，m-6），则MN=-m2+4m+12. 所以S=MN·x-x=-3m2+12m+36=-3（m-2）2+48. 分析可知，当m=2时，△MDB的面积最大，此时点P的坐标为（2，0）.

第（3）问：探究直角三角形的存在性

探究以Q，M，N三点为顶点的三角形为直角三角形，没有设定直角，有∠QMN=90°，∠MNQ=90°，∠MQN=90°三种情形，逐个分类讨论.

由（2）问可知点M和N的坐标分别为（2，12），（2，-4）.

①当∠QMN=90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）;

②∠MNQ=90°时，NQ∥x轴，则Q（0，-4）;

③∠MQN=90°时，设Q（0，n），由勾股定理可得QM2+QN2=MN2，即4+（12-n）2+4+（n+4）2=（12+4）2，可解得n=4±，即点Q的坐标为（0，4+）或（0，4-）.

综上可知，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形，满足条件的点Q坐标有四个，分别为（0，12），（0，-4），（0，4+）或（0，4-）.

典型解读

上述二次函数与几何综合题的后两问为核心之问，第（2）问为二次函数中的图形面积问题，第（3）问为二次函数中的直角存在性问题，两问均为典型问题. 问题解析需要合理构建模型，往往针对不同的情形，建模过程也有一定的差异，下面具体解读分析.

1. 关于二次函数中的图形面积

抛物线中图形位置情形可分为三种：图3中三角形有一条边位于坐标轴上，图4中三角形的三边均不在坐标轴上，图5则为不规则图形. 对于不同的情形，模型构建策略有所不同.

求解抛物线中图形的面积采用如下策略.

策略一：若三角形有一条边位于坐标轴上，建议取该边为底;

策略二：若三角形的三边均不在坐标轴上，建议结合割补法，转化为有一边垂直坐标轴的情形，构建铅垂模型;

策略三：若所涉图形为不规则图形，建议采用面积割补法，将其转化为几个规则三角形的面积组合.

拓展示例1：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，分析在x轴的下方、y轴右侧的抛物线上是否存在一点D，使得四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D坐标;若不存在，请说明理由.

解析：采用面积割补法进行求解，设点D坐标为（m，m2-2m-3），由条件可知点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. 连接OD，如图6所示，则四边形可由OD、OC分割为△AOC、△COD、△BOD，其面积S=S+S+S，其中S=AO·OC，S=OC·x，S=OB·y，代入点坐标可得S=×1×3+×3×m+×2×m2-2m-3=-m2+m+6，分析可知当m=时，四边形ABDC的面积最大，此时点D的坐标为，-.

评析：上述解析四边形ABDC的最大面积，采用了面积割补法，将其分割为三个小三角形的组合. 而小三角形均至少有一边位于坐标轴上，故可采用上述策略一，取位于坐标轴上的边为三角形的底，从而构建面积模型.

2. 二次函数中直角三角形存在性

二次函数中直角三角形存在性问题往往结合了动点，设问常常分两种情形：情形一是设定了固定直角顶点，二是没有设定直角顶点. 情形一模型固定，而情形二需要分类讨论，以定点为直角顶点，或以动点为直角顶点. 故具体解析可按照如下思路：第一步，讨论直角存在情形;第二步，根據具体情形构建模型;第三步，使用对应策略求解分析. 而模型构建可采用以下三种策略.

策略一：几何角度分析

由几何角度入手，对应直角的顶角为90°，可直接利用该角度特性进行推理，如构建平行模型、“一线三等角”模型、“水晶盒子”模型等，利用模型特性转化为求线段长，进而确定点坐标.

策略二：直线斜率分析

由函数角度入手，直角所关联的两条直角边相互垂直，则所在直线的斜率之积为-1，如图7所示，即若直线l1⊥l2，则k1·k2=-1.

策略三：勾股定理分析

由直角三角形特性分析，若對应三角形为直角三角形，则必然满足勾股定理，如图8所示，在Rt△ABC中，有a2+b2=c2.

拓展示例2：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，试在抛物线上找到一点Q，使得△BCQ为以BC为直角边的直角三角形，并求出点Q的坐标.

解析：题干设定BC为直角边，由抛物线解析式可得点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. 结合图像（如图9）分析可知，可分别以点B和点C为直角顶点，需分别讨论.

①当以点B为直角顶点时，有BC⊥BQ，故BC与BQ所在直线的斜率之积为-1，即kBC·kBQ=-1. 由点坐标可得直线BC的解析式为y=x-3，则直线BQ的斜率为-1，设BQ的解析式为y=-x+b，直线BQ经过点B，将点B坐标代入其中，可得b=3，所以直线BQ的解析式为y=-x+3. 点Q是抛物线与直线BQ的交点，联立两者方程，有y=x2-2x-3，y=-x+3，可解得x=-2，y=5 或x=3，y=0 （舍去），则Q1（-2，5）;

②当以点C为直角顶点时，有BC⊥CQ，则kBC·kCQ=-1，同理可求得直线CQ的解析式为y=-x-3，与抛物线方程联立，有y=x2-2x-3，y=-x-3，可解得x=1，y=-4 或x=0，y=-3 （舍去），则Q2（1，-4）;

综上可知，点Q的坐标为（-2，5）或（1，-4）.

评析：上述设定直角三角形的一条直角边，结合图像分析确定了具体的直角情形，然后进行分类讨论. 模型构建时采用了上述的策略二，结合“相互垂直的两条直线的斜率之积为-1”来逐步推导点坐标，整个过程直观简洁.

总结反思

上述深入探讨了二次函数与几何的两大综合性问题，无论是分析图形的面积，还是探究图像中的直角三角形，均需要立足二次函数的基础知识，把握几何图形的基本特性，由性质出发，紧抓点坐标这一切入点进行解题. 在考题探究教学中，笔者提出以下两点建议.

建议一：策略总结中兼顾拓展思考

函数中的面积问题和直角三角形问题为典型问题，对其开展解题策略总结是十分必要的，但在实际教学中不能过分强调解题模板而限制学生的思维，而应引导学生挖掘问题本质，认识方法本源，立足方法原理开展拓展变式教学，引导学生探究创新性解法，结合实际问题挖掘一题多解、多题一解，以发展学生思维为教学重点.

建议二：解法探究中注重思想渗透

上述问题的解析过程不仅是知识点的综合，同时也是思想方法的综合，涉及数学的数形结合、分类讨论、化归转化、方程、模型构建等思想，这些数学思想才是解题的精髓所在. 虽然对于学生而言，数学思想较为抽象，但解法探究中依然需要立足考题，渗透数学思想，让学生体验数学思想解题的过程，逐步感悟思想方法的内涵，提升学生的数学素养.