聚焦解题反思，提升概念理解

张赞

[摘  要] 文章从课本中一个不显眼的习题出发，谈谈数学概念教学过程要时刻关注学生现有的数学认知水平，适时捕捉、开发教材中的教学资源;引导学生反思，归纳知识、方法之间的内在的本质联系，促进学生思维的发展，优化学生的认知结构.

[关键词] 教材;概念教学;数学认知

课本习题，呈现认知

在数学苏科版《八年级上册》第3章第2课时“勾股定理的逆定理”的教学过程中，有一道课后习题：

原题：△ABC的三边长分别为a，b，c，且a=n2-1，b=2n，？摇c=n2+1，△ABC是直角三角形吗？证明你的结论.

刚刚进行完勾股定理的逆定理：“△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形”的教学，这道习题很适合放在课堂上作为例题，许多同学的解答如下：

解： △ABC是直角三角形，因为a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=（n2）2-2n2·1+12+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，

而c2=（n2+1）2=（n2）2+2n2·1+12=n4+2n2+1，

所以a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形.

整个解答过程毫无问题，本题正好使用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状，而且对代数式的计算也有比较高的要求. 但仔细观察题设，发现a，b，c三边和最后证明的结果，与勾股定理的逆定理中的三边a，b，c完全对应. 对于刚刚接触勾股定理的逆定理的学生来说，当前的数学认知水平完全处于低层次的“记忆型”水平，对逆定理中的等式基本处于模仿状态. 而课本这道习题的本意也就是让学生初步理解勾股定理逆定理的应用. 学生只要有比较扎实的化简功底，这道题基本都能证明，但对勾股定理逆定理的理解，头脑中往往只有 “若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形”这个初步的印象.

以生为本，促进认知

笔者在课堂教学中，将习题改编如下：

改編题：△ABC的三边长分别为a，b，c，且a=n2+1，b=n2-1，c=2n，△ABC是直角三角形吗？证明你的结论.

改编的题目中仅仅对a，b，c三边对应的代数式进行调整，结果在解答过程中大面积地出现了这样的错误解答：

因为a2+b2=（n2+1）2+（n2-1）2=（n2）2+2n2·1+12+（n2）2-2n2·1+12？摇=n4+2n2+1+n4-2n2+1=2n4+2，而c2=（2n）2=4n2，所以a2+b2≠c2，所以△ABC不是直角三角形.

由此可见，许多学生对勾股定理逆定理的认知水平还处在最初的“记忆型”层面，头脑中只有 “若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形”，于是就按照定理本身的字母顺序进行验证，从而得到了“△ABC不是直角三角形”这样一个错误结论.

在众多的解答中，笔者也发现了一些正确的解答——

解：因为a2+b2=（n2+1）2+（n2-1）2=（n2）2+2n2·1+12+（n2）2-2n2·1+12=n4+2n2+1+n4-2n2+1=2n4+2，

而c2=（2n）2=4n2，

所以a2+b2≠c2.

因为a2+c2=（n2+1）2+（2n）2=n4+2n2+1+4n2？摇=n4+6n2+1，

而b2=（n2-1）2=n4-2n2+1，所以a2+c2≠b2.

又因为b2+c2=（n2-1）2+（2n）2=（n2）2-2n2·1+12+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，

而a2=（n2+1）2=（n2）2+2n2·1+12=n4+2n2+1，

所以b2+c2=a2. 所以△ABC是直角三角形.

通过实物投影仪的展示，笔者让全班学生看这位同学的解答，很多学生明白了他的意图. 他的认知水平已经上升了一个台阶，处于高层次的“有联系的程序型”，但看解答的整个过程，学生的整体思路是用每两边去验证是否符合勾股定理逆定理，从而判断它是否为直角三角形. 从这个解题过程中，明显可以感受到不同的学生发展出的认知水平是不一样的，有的还处在定理模型的模仿阶段，但少数已经能够感受到定理本身内在的含义了. 他能理解定理中的a2+b2=c2只是定理中对于三角形三边的描述，所以才用了很具有数学素养的思想去分类讨论三条边的等量关系，这点难能可贵！于是笔者再次将习题进行改编：

如果老师把三边对应的代数式再调整一下呢？是不是一定要三个关系式都去验证一下呢？仔细去分析这个解法，还可以通过作差法来简化解答过程，也就是勾股定理逆定理中a2+b2=c2中的边c应该是三角形三边中最长的边，经过解释，这个结论大部分学生都能够接受. 因此在解题过程中，我们只要先找出最长的边，再验证另外两条边的平方和是否等于最长边的平方，就可以判断是否为直角三角形了. 最简解答如下：

解：因为a=n2+1，b=n2-1，

所以a>b.

又因为a-c=n2+1-2n=（n-1）2≥0，

若n=1，则b=0无意义，所以n≠1.

所以a-c>0. 所以a>c. 所以a为最长边.

又因为b2+c2=（n2-1）2+（2n）2=（n2）2-2n2·1+12+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，

而a2=（n2+1）2=（n2）2+2n2·1+12=n4+2n2+1，

所以b2+c2=a2. 所以△ABC是直角三角形.

这样就大大简化了验证的过程. 改编题对学生的要求更高，不仅对勾股定理逆定理的理解有更高的要求，而且对作差法比较代数式的大小也要求熟练应用. 通过改编题的解答和讨论，学生对勾股定理逆定理有了更加深入的理解，使自己的认知水平上了一个台阶.

回归教材，优化认知

分析完了改编题，笔者又引导学生回到课本中的勾股定理逆定理. “大家现在能不能想想办法，把逆定理的内涵描述得更容易理解呢？”学生进行分组讨论，都在商量怎样用语言重新描述勾股定理逆定理，最后得出如下的逆定理的文字描述： “在三角形中，如果两个较短边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形. ”通过改编题的解答，有了较高认知水平的学生都意识到，要使用逆定理，尽量不用a2+b2=c2这样简单的字母关系，避免不必要的错误发生，而是充分运用三边的大小关系来验证三角形. 这点难能可贵，本节课的目标达成. 让学生回归教材，对定义定理再次深化，达到了优化学生认知的效果.

通过这个课堂实例，笔者认为在进行数学概念教学的过程中，一定要关注教师为了完成数学任务所要求的“认知要求”与学生完成数学任务所达到的“认知水平”之间的差异，尽量多挖掘教材中的例题和习题，通过对解题过程的反思，再对其进行适当的改编，让学生去犯错、纠正. 通过不断犯错和纠正的过程，让学生在犯错中重新理解概念、定义、定理的本质，从而优化学生的认知，促进学生思维的发展，以生为本，为今后的数学概念教学打好坚实的基础.