巧用数学习题 培养数学能力

徐维东

[摘  要] 在新课改的背景下，教学更加重视学生抽象思维能力、数学建模能力、逻辑推理能力等数学能力的培养. 那么要培养学生的数学能力，除了例题的精心设计和讲解外，也应对习题进行拓展，选取具有代表性和延伸性习题，进行巧妙变换和适当引申，从而充分发挥习题功能挖掘学生潜能.

[关键词] 习题;思维能力;应用能力

随着新课改的深入，教学更加关注学生创新能力的培养，因此需要教师对习题进行有效扩充和挖掘，让每个层次的学生都有所收获，有所成长，从而实现共同进步. 那么如何巧用数学习题，培养学生的数学能力呢？

巧用一题多解，培养数学学习的兴趣

数学的学习如果停留在烦琐的计算和解题中，势必让学生感觉枯燥和乏味，无法激发学习的兴趣. 同时，过多的同类题目的强化训练也会造成思维疲劳和思维定式，影响学生思维的发展. 那么，如何利用习题培养学生的学习兴趣呢？笔者认为，可以运用一题多解来培养学生的学习兴趣. 对于同一题目，从不同角思考，向不同的方向延伸，这样，不仅可以达到巩固知识的目的，而且可以培养学生思维的灵活性和广阔性，激发学生探究的乐趣，也有利于创新意识的形成和发展.

案例1  哪家更优惠

某公司想组织员工去A地进行团建，现联系了甲、乙两家旅游公司，他们给出的原始报价相同，都为每人100元. 经过协商，甲公司可以给予每名员工八折优惠;乙公司给予六折优惠，但需要缴纳1000元的保证金. 请问该公司选择哪家旅游公司，价格更优惠？

分析：若设该公司参加的人数为x，根据甲的方案，需支付给甲公司80x元;根据乙的方案，需支付（60x+1000）元. 要知道哪个更优惠，也就是验证80x与（60x+1000）哪个更小.

方法1：代数法

设该公司参加团建的人数为x，那么需支付甲公司80x元，需要支付乙公司（60x+1000）.

情况1：甲、乙费用相同，则80x-（60x+1000）=0，解得x=50.

情况2：乙优惠，则80x-（60x+1000）>0，解得x>50.

情况3：甲优惠，则80x-（60x+1000）<0，解得x<50.

方法2：函数图像法1

设该公司参加团建的人数为x，支付甲公司的费用为y，支付乙公司的费用为y，则y=80x，y=60x+1000. 在同一直角坐标系中绘制函数图像，如图1.

y与y相交点的坐标为（50，4000），则观察图像可知：

（1）若x=50，y=y，即甲、乙两家公司费用相同.

（2）若0<x<50，y<y，即甲公司更优惠.

（3）若x>50，y>y，即乙公司更优惠.

方法3：函数图像法2

设该公司参加团建的人数为x，甲、乙公司的费用差为y，则y=80x-（60x+100），化简得y=20x-1000. 如图2为函数y=20x-1000的图像.

函数与x轴交点的坐标为（50，0），根据图像可得出以下结论：

（1）当x=50时，y=0，即甲公司费用等于乙公司费用.

（2）当x>50时，y>0，即甲公司费用大于乙公司费用.

（3）当x<50时，y<0，即甲公司费用小于乙公司费用.

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想知道哪家公司更优惠，也就是哪家公司所支付的费用少，转化为数学问题即比较大小. 方法1的解题思路为通过代数法，直接作差，将其转化为解不等式的问题，该解法因利于理解和接受，学生经常使用. 方法2，根据题意得出了两个一元一次函数，利用交点（50，4000）和函数图像，得出结论. 方法3，根据方法1的解题思路进行思考，又有效地应用了图像，通过判断正负来进行大小的比较.

方法1为常规解题思路，应用的学生较多. 方法2和方法3利用了函数模型和图像模型，有效地培养了学生的建模能力，加深了学生对函数实际意义的理解，提升了学生的函数应用能力及函数建模的能力.

巧用一题多问，培养学生问题意识

数学学习过程也是不断解决问题的过程，因而要学好数学，学生就应具备问题意识. 那么，要培养学生的问题意识，就需要学生会“质疑”，会“提问”，只有这样，才能真正地发展学生的数学思维能力和创新能力.

案例2  用问题拓展习题

如图3，已知△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，∠BAC=120°. D，E為BC边上的点，且BD=AD，AE=CE，求∠DAE的度数.

师：根据已知条件，∠DAE的度数为多少？

生1：∠DAE是60°.

师：那根据已知，你们还想探究哪些问题呢？现在请大家说一说你们的想法.

生2：图3中还有哪些图是等腰三角形？

生3：△ABD与△ACE全等吗？

生4：△ADE是什么三角形？

生5：若AB≠AC，∠DAE的度数是否可求呢？

让学生根据已知条件和直观感受提出问题，将一个问题转化为若干问题，对题目进行有效拓展，发展了学生的思维能力. 尤其是生5问题的提出，将提问推向了高潮，极大地发挥了习题的功效，提升了问题的难度，增加了习题的广度，同时，也潜移默化地强化了学生提出问题和解决问题的能力.

巧用多题一解，培养数学抽象思维

由于数学比较抽象，因此会使学生感觉数学的学习枯燥乏味，从心理上对其产生厌恶. 那么要改变这一现状，可以采用多题一解，在习题中渗透抽象，运用习题组让学生感知其共同属性，亲身经历从特殊到一般的过程，从而将具体的问题抽象化，培养学生概括能力、逻辑分析能力，进而培养学生的数学抽象思维.

案例3  增长率的探究

（1）因某商店进行清仓改造，现进行降价销售，已知某款钢笔原价为16元，经过两次降价，现售价为4元，试求该钢笔两次降价的平均降价率.

（2）某化肥厂3月份销售量为500t，因受市场竞争影响，4月份销售量减少了10%，5月份公司改变营销战略，销售量逐渐上升，到6月份销售额已达648t. 该厂5、6月份的月销售额平均增长率为多少？

（3）学校图书馆四个月共购买图书1999本，已知第一个月购买344本，第二个月购买500本，若第三个月和第四个月购买图书的增长率相同，那么第三个月和第四个月分别购买多少本？

师：请同学们分析一下，上面题目相同点是什么？

生1：三个题目都与平均增长率有关.

师：那请利用所学知识进行求解. （问题给出后，同学们开始积极地进行解题）

生2：第1题我是这样解的，设平均降价率为x，得到的方程为16（1-x）2=4.

生3：第2题，根据题意可知，4月份的销售额为500-500×10%=450，设5、6月份的平均增长率为x，列方程得450·（1+x）2=648.

生4：在第3题中，后两个月买的图书数量为1999-344-500=1155（本），设增长率为x，则500（1+x）+500（1+x）2=1155.

师：很好，那么通过上面的三个方程，看看有没有什么发现？

生5：分析第2题的方程450（1+x）2=648，450为原有数，648为增长后的数，2表示连续增长了两个月.

师：假如设原有量为a，现有量为b，平均增长率为x，增长次数为n，你们是否可以总结出公式呢？

三道题目均为增长率相关的应用题，教师将3道题目并列给出，其目的是让学生通过特殊来寻找题目的一般规律. 题目最后，教师给出了假定值，引导学生可以总结归纳出在增长率相同的情况下，其共同遵循的等量关系. 通过等量关系的总结与归纳，不仅使学生再遇到与平均增长率有关问题时，可以灵活应对，提高解题效率，也会使学生形成数学抽象思维.

巧用生活实践，培养学生数学应用能力

数学源于生活，因此选取生活中的实际问题更容易激发学生探究的热情，在探究中，以解决实际问题为思维的生长点，增强学生解决问题的迫切感，从而收获解决问题后的喜悦感，培养学生数学学习的自信心和数学应用能力.

案例4  二次函数的应用

已知，小汽车的制动距离与车速的关系如表：

该型号的汽车在高速公路发生交通事故，现场对制动距离进行勘测，其制动距离为46.5 m，请问该汽车当时的车速为多少？若该路段限速110 km/h，该车是否超速？

题目分析：本题为根据统计进行推理，利用数据进行函数建模，運用函数进行实际问题的解答.

解题思路：

（1）学生根据统计表中的数据，在直角坐标系中描出相应的点.

（2）通过观察点的分布，知晓各点分别在一条抛物线附近，因此可以通过二次函数进行模拟. 在表1中任取3点进行函数关系式的求解.

（3）将制动距离代入函数关系式，求得当时的车速.

习题中通过“是否超速”这一与生活息息相关的实例进行探究，易引发学生探究的兴趣. 学生在统计推理的过程中充分地利用了统计分析、图形建模、函数建模等相关内容，进而培养了学生的数学应用能力.

总之，教师要在千变万化的数学题型中，进行精心筛选和合理利用，只有这样才能达到利用习题拓展学生数学思维，培养学生数学能力的目的.