用习题引领拓展 让思维开花结果

邰俊淑

[摘  要] 利用数学习题帮助学生巩固知识和查缺补漏，是培养学生独立思考问题、解决问题，发展学生思维能力，建构完整知识体系所必不可少的教学手段. 因此习题课应具有方向性、层次性、灵活性、探究性，从而开阔学生思维，激发学生智慧.

[关键词] 数学习题;思维能力;激发

要学好数学，就要注重学生思考力的提升，而要提升思考能力，思维训练是必不可少的. 那么，要进行思维训练就要借助习题的力量，通过对习题的延伸和变形，逐渐提升学生的思维能力和思维水平. 笔者以常见的几何题为例，利用题目演变来培养学生的数学思维和数学能力.

原型题——让思维生“根”

原型题为基础常规题，主要考查学生对基本知识点、基本问题的掌握情况. 原型题的设置可以使每个学生都积极地参与其中，充分地调动学生学习的积极性和自信心，为后期的思维拓展打下坚实的基础.

师：如图1，已知△ABC与△CDE均为等边三角形，C为AE上一点，求证：AD=BE. （教师PPT展示题目和图形）

生1：由△ABC和△CDE为等边三角形，可得AC=BC，CE=CD，又已知∠BCE=∠DCE+∠BCD，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠ACB=∠ECD=60°，即∠ACD=∠BCE，根据SAS定理可得△BCE≌△ACD，所以AD=BE.

师：很好，解题思路清晰，通过全等证明了结论.

本题为基础题，解题思路简单. 在几何题目的证明中，两边相等习惯通过证明两个三角形全等来解决，为基本的数学解题思路，绝大多数学生在此题的证明中显得游刃有余. 通过基础的架设，让每个学生都有所收获，从而让思维生“根”，为后期的生长做好铺垫.

拓展题——让思维发“芽”

要让思维可以发“芽”就需要在基本问题上有所提高，但跨度又不宜过大，要让学生可以想得到，够得着，让思维慢慢地生长.

师：如图2，若AD与BC相交于G，CD与BE相交于H，AD与BE相交于F，在图1的基础上，你们能发现几组全等三角形呢？（教师给出题目后，学生积极思考）

生2：可以得到△BCH≌△ACG，△DCG≌△ECH. （反应快的学生迅速给出答案）

师：那请你说一下自己的想法. （教师看有些基础薄弱的学生未能理解，让学生进一步解答）

生2：在图1的基础上可知∠CAG=∠CBH，∠BCH=∠ACG=60°，因此可以得到△BCH≌△ACG. 另外一个全等也是同样的道理. （证明过程给出后，未理解的学生恍然大悟）

师：很好，根据图1，我们添加了3个点，又得到了两组全等三角形.

本题是在前题的基础上添加了3个点，略有提高，利用图1中的△BCE≌△ACD，得到了另外两组角对应相等，再根据图1的证明思路轻松地证明了另外两组三角形全等. 这样，对题目的简单变形，让学生领悟前题的结论为下题的起点，思维要善于迁移，从而拓展学生思维的宽度，发展学生的思维. 同时，教师采用层层递进的方式展开，使探究更具操作性，有助于学生学习积极性的培养.

延伸题——让思维抽“枝”

让思维不断延伸，才能让思维长出茂密的“枝”，才能发现问题间的内在联系，教师合理地利用和引导，从而使学生形成独特的思维脉络，进行个体知识体系的构建.

师：如果我们连接GH，看看又可以有什么收获呢？（教师继续引导学生进行思考）

生3：可以得到△CHG为等边三角形.

师：那么GH与AE有什么关系吗？

生4：GH∥AE，因为∠HGC=∠ACG=60°.

师：那么连接CF，看看CF与∠AFE又有什么关系呢？

为避免题目过于发散，学生无法抓住重点，教师直接给出要证明的结论.

师：大家一起回忆一下，之前如何证明一条线平分一个角呢？

生4：可以根据角平分线的逆定理进行证明.

师：很好，那我们顺着这个思路來验证一下吧.

生5：如图4，过C点作CM⊥AD，CN⊥BE. 根据上面的结论可以直接推导出Rt△ACM≌Rt△BCN，即得到CM=CN. （学生在图3的基础上画出了两条垂线）

在图2的基础上，教师继续引导学生进行思考，GH和CF两条线的引出给题目又增添了一份精彩，尤其在图4的应用中，利用角分线的逆定理，使学生探究时不轻易得手，但又不至于无计可施，有效地调动了学生思考和探究的积极性，思维得到了有效延伸.

变图题——让思维开“花”

以原型题为依托，进行适当地“变”，使思维向纵向挖掘，向横向延伸，从而培养学生知识综合应用能力，将思维拉至学生的最近发展区，进而提升思维的活跃度和灵活度.

师：现在将△CDE顺时针旋转，得到图5. 这个图形大家熟悉吗？

学生齐声回答：熟悉.

师：那现在请大家先在纸上绘制一下图形，看看你是怎么操作的.

生6：我是这样画的，先画出边AC和边CE，两线相交于点C，以AC和CE为边绘制△ABC和△CDE. 连接AD和BE得到图6. （教学中教师引导学生构建图形模型，培养学生构图能力）

师：很好，图形画出来了，那么大家分组讨论一下，这个图形有什么性质？

生7：利用原型题的证明方法进行求证，可以得到AD=BE.

师：很好！那∠DFE的度数可以求吗？（题目给出后，学生开始带着问题继续探究）

生8：∠DFE为60°. （有些学生疑惑了）

生8：∠CAD=∠CBE，∠BAD=60°-∠DAC，∠ABE=60°+∠CBE，所以得到∠BFA=60°. （思路给出后，大家都点头表示赞同）

师：特别厉害，那么你们课下自己尝试验证一下如果逆时针旋转△CDE，看看有什么不同？

图形通过旋转，让学生体验另一种变化，通过问题∠DFE的度数是否可求，引导学生进行下一步的思考. 通过前几题的铺垫，大多数学生都可以清晰地掌握变图后的性质，通过图形的旋转，使学生的思维更加灵活.

转换题——让思维结“果”

当学生的思维上升到一定高度时，要放手让学生自主地探究和建构，从而让思维结“果”，只有放手让学生去探究、去体验、去感受，才能让思维得到真正的锤炼，从而将思维推向高潮.

师：现在大家观察一下图6. 若已知∠ABC=30°，△ACD为等边三角形，AB=6，BC=8，试求CD.

生9：老师，图6为图5的变式，图5中△CDE为顺时针旋转，而此图等边三角形ACD为逆时针旋转. 旋转后将图5上B点及其B点连接线去除就得到图6.

師：真的很棒，你们都发现了吗？（很多学生点点头，表示也有同样的想法）

师：那请大家分组探究一下，求出CD的长度. （分组探究后，学生很快有了答案）

生10：如图7，以AB为等边三角形的一条边，构建等边三角形ABE. 因为∠ABC=30°，可得∠EBC=90°. 连接CE，CE=BD，BE=AB=6，BC=8，根据勾股定理可求CE=10，因此BD也为10.

在生9的变式思路给出后，学生轻松地利用图5建构了图7，通过图1的结论，轻松地将求BD转换为求CE，利用勾股定理得到了最后的答案. 题目的演绎以基础原题为起点，用拓展题和延伸题慢慢爬坡，变图、构图作为最后的升华，充分地展现了数学的“奇”和数学的“美”，让学生的思维健康地生长，从而促进学生全面素质的提高.

本节习题课思路清晰，首先，从常规基础题出发，充分利用了等边三角形和全等三角形的性质，让学生思维得以生“根”;其次，对原题进行变形，通过增加点、连接线，纵向拓展和挖掘，层层深入，让学生思维逐渐生长;最后，去除了一个等边三角形，让学生通过前题思路进行另一等边三角形的建构，充分地培养了学生观察、变形、分析和图形建模的能力. 习题采用由浅入深、由简到难的方法，由特殊到一般层层递进，螺旋上升，过渡自然流畅，充分地展现了数学思维的培养过程. 同时，通过本节习题课的学习，学生不仅对原题有了深刻的认识，又有效地提升了学生的数学思维能力和应用能力.

总之，教师要上好一节习题课，简单地答案讲解显然是不够的，应找到知识的“生长点”与“延伸点”，认真钻研，精心设计，将题目置于整个知识体系中，培养学生通过解决一道题来解决一类问题的数学应用能力. 另外，习题课的课堂应以学生为主体，发挥学生的主体能动性，让学生可以从不同的角度、不同的层次进行理解和分析，提高学生发现问题、解决问题的能力，从而全面提高学生的思维水平.