压电分流声子晶体杆带隙调控研究

张亚茹，郭 辉，袁 涛，孙 裴，王岩松，程 乾

(上海工程技术大学 机械与汽车工程学院，上海 201620)

0 引言

声子晶体是一种具有弹性波禁带特性的人工周期结构，在特定频率范围内可以调控弹性波传播[1]。含分流电路的压电声子晶体[2]可以通过对分流电路实现带隙调控，结构简单且具有良好的机电耦合特性，使其在可调谐声子晶体方面得到了广泛应用。

自Thorp等[3]首次将纯电阻电路和电阻-电感(R-L)谐振电路引入周期结构后，Qian等[4]和Chen等[5]研究了一维、二维压电声子晶体的带隙可调谐性，即改变压电分流系统的几何或物理参数实现声子晶体频域性能的调控。由于基于谐振分流电路的声子晶体获得的局域共振带隙窄且带隙内衰减量小，因此，研究者们设计出了更复杂的分流电路以获得宽频带、强衰减的带隙。Wu等[6]和Fleming等[7]采用流阻型和流通型多模态谐振分流电路，在一个分流电路上并联多个谐振电路分支进行振动控制,但该种电路连接方式增加了电路的复杂性，实际应用中存在局限性。2004年，Park等[8]发现负电容可以抵消压电片固有电容，增大机电耦合系数，从而减小电路损失，并将电阻、电感、负电容串联的负阻抗电路(NIC)应用于梁结构，极大地拓宽了带隙宽度。此后，负电容被广泛应用于压电声子晶体的振动控制[9-13]。

将压电片及连接的分流电路称为一个压电分流单元，以上研究中均研究了元胞中包含单个压电分流单元的情况。本文在元胞中布置多个压电分流单元，采用R-L与负电容并联的分流电路，改变元胞中含有不同电路参数的压电分流单元个数，并运用遗传算法对电路参数进行优化，寻求电感值与负电容值的最佳匹配。

1 压电声子晶体杆模型

压电声子晶体杆由基体杆、压电片和分流电路3个部分构成。长度为lp的压电片周期性地粘贴在基体杆的上下表面，忽略粘贴层对结构的影响。粘贴有压电片的部分为A，长度与压电片长度相同，未粘贴有压电片的部分为B，长度为l，两部分相加为元胞的晶格常数a，如图1所示。图中，w为基体杆、压电片宽度，tr为基体杆厚度，tp为压电片厚度。每个压电片连接独立的分流电路(由电阻R、电感L及负电容Cn并联组成)。本文根据元胞中包含的压电分流单元个数的不同设计了3种元胞配置：配置Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型元胞分别包含1个、2个和4个压电分流单元，且每个压电分流单元中的电路元件参数互不相同。

图1 压电声子晶体杆及3种元胞配置示意图

1.1 物理模型

假设压电片沿z方向极化，除厚度端面外其余表面均自由，则压电方程为

(1)

每个分流电路的阻抗为

(2)

式中s为拉普拉斯算子。假设由正压电效应压电片产生的电场为匀强电场，压电片内应变和电极上电位移相等，分流电路的作用相当于附加弹性模量：

(3)

式中：hp为压电片厚度；As为压电片面积；Cp为压电片固有电容，其计算式为

(4)

1.2 动力学模型

该结构是由每个元胞周期排列而成，因此只需对单个元胞进行动力学建模并结合Floquet定理即可得到整个杆中的波传播特性，杆的振动方程为

(5)

式中：ρ、E为杆的密度和弹性模量；u(x,t)为杆在x处的振动位移。

对于无限周期边界条件，可以使用传递矩阵法和Bloch定理计算带隙，得到特征值方程：

det[T(ω)-eikaI]=0

(6)

式中：T为传递矩阵；I为单位矩阵；k=δ+iε为传播常数，实部δ为衰减常数，虚部ε为相位常数。当δ=0时，弹性波可以无损的从一个周期传播到下一个周期；当δ≠0时，弹性波的传播存在衰减，在这些频率范围内形成带隙。

1.3 负电容的等效计算

负电容与谐振电路连接如图1(b)～(d)所示，其中，LC电磁振荡回路被用于产生局域共振带隙，并联的负电容可以“抵消”压电片的固有电容，增加机电耦合系数，且负电容分流器中的电阻可以在更大的频率范围内耗散能量。负电容可以通过运算放大电路模拟实现，由1个电容器、2个电阻器和1个运算放大器(OpAmp)组成(见图2)，调节合成电路中的电阻可以获得任何负电容值。为保证电路的稳定性，负电容的绝对值应大于压电片固有电容，其等效电容值为

(7)

图2 负电容合成电路

2 数值计算与讨论

基于上述压电声子晶体杆数学模型进行带隙结构数值及仿真计算,相关材料及几何参数如表1所示。

表1 基体杆所用几何与材料参数

配置Ⅰ型压电声子晶体杆带隙结构如图3所示，当电路短路时，只存在图中实线部分所示的带隙结构，这是由于压电分流系统与基体杆间的布喇格(Bragg)散射引起的，称为Bragg带隙。电路通路时(R=20 Ω,L=0.06 H,C=-3×10-9F)，分流电路中的电感与电容产生电磁振荡，形成局域共振带隙(见图3中的虚线)。电路参数影响局域共振带隙中心频率位置，但几乎难以改变其频带宽度，且基于压电分流系统的声子晶体获得的局域共振带隙较窄。本文尝试改变元胞中包含的压电分流单元个数(配置Ⅱ、Ⅲ型)，且每个压电分流单元电路参数互不相同，则电路谐振频率不同，即可在多个频段内产生电磁振荡，进而产生多个局域共振带隙，为带隙调控提供更多的实施途径。3种元胞配置中配置Ⅰ、Ⅱ型的a相同，但配置Ⅱ型中布置了2个压电分流单元，则会有2个不同的谐振频率，即可产生2个局域共振带隙；同理，配置Ⅲ型中包含4个压电分流单元，则可产生4个局域共振带隙，如图4所示。

图3 压电声子晶体杆的带隙结构(配置Ⅰ)

图4 3种元胞配置下压电声子晶体杆的带隙结构

以上压电声子晶体杆局域共振带隙中心频率可由分流电路谐振频率[14]近似得到，即

(8)

由式(8)可知，L与Cn均对局域共振带隙有影响，电感值增大带隙向低频移动，但带宽减小；Cn值增大带隙内衰减增大，但带隙向高频移动。因此，当确定预期目标频段时，仅通过式(8)难以直接计算得到可以使带隙宽度和平面波衰减幅度最大化时的电路参数值。对此，采用遗传算法对电路参数L,Cn进行优化，充分利用分流电路实现压电声子晶体的带隙可调谐性。

以上结构中配置Ⅲ型得到的4个局域共振带隙，可运用遗传算法将其合并为一个宽带，优化目标函数为

(9)

式中：ObjV为目标函数；W为单个局域共振带隙宽度；f1，f4分别为从低频到高频第1、4个局域共振带隙的中心频率。目标函数的分母为第1～4局域共振带隙的宽度与3倍单个局域共振带隙宽度的差值，差值尽可能小，从而保证合并带隙的宽度；分子为目标频段内衰减常数的积分，积分尽可能大，从而确保合并带隙的衰减量。确定优化对象L,Cn及ObjV后，遗传算法模拟自然进化过程，可以高效地进行最优解搜索。随机产生初始种群，根据目标函数评估初始种群染色体的适应度，通过选择、交叉及变异等操作生成子代染色体，为确保带隙不重叠地落在目标频段内，终止准则中添加一项峰值判断语句，最后得到最优参数值。优化结果如图5(a)所示，一个压电分流单元得到的单个局域共振带隙宽约为150 Hz，将4个带隙合并后可得到一个约500 Hz(2 900～3 400 Hz)的宽带；同时也可设置两个目标频段，将4个带隙两两合并可得如图5(c)所示的两个宽带，实现多频带调谐。

图5 配置Ⅲ型优化后的带隙结构及传输特性曲线

弹性波在结构中的传输特性为

(10)

式中Win，Wout分别为输入和输出端的位移(见图5(b)、(d))，传输特性曲线与衰减常数曲线具有良好的匹配性。

为了进一步验证上述带隙调控方法，利用多物理场仿真软件COMSOL对以上结构进行有限元模拟。为提高计算精度简化计算，取4个含有单个压电分流单元的元胞为1个周期，材料及结构参数如表1所示。在杆左侧，即未粘贴压电片的一端施加沿x方向、大小为1×10-5m的恒定位移，在两端拾取位移响应计算传输特性。图6为COMSOL计算传输特性。由图可知，在2 750～3 890 Hz时出现4个局域共振带隙。为了直观地看出不同压电分流单元对弹性波的局域效果，选取带隙外和4个局域共振带隙内的振型图(见图7)。带隙外f0=4 410 Hz时，杆件的激励几乎无损耗地传输到右端，无抑振效果，表面应力最大值为1.51×109N/m2；第1条带隙内f1=2 930 Hz时，杆件的振动局域在两个周期的第1个压电分流单元内，右端几乎无波传播；第2条带隙内f2=3 150 Hz时，杆件的振动局域在两个周期的第2个压电分流单元内；第3条带隙内f3=3 470 Hz及第4条带隙内f4=3 890 Hz时，杆件的振动分别被局域在两个周期的第3、4个压电分流单元内,应力最大值为3.49×107N/m2，对比带隙外表面应力，相差2个数量级，达到了很好的抑振效果。以上仿真结果验证了当元胞中含有多个谐振频率不同的分流电路时，可以产生相应数量的局域共振带隙，且带隙内的波被局域在具有相应谐振频率的压电分流单元内，从而阻止波的传播呈现带隙特性。

图6 COMSOL计算传输特性

图7 不同频率下压电声子晶体杆的振型图

3 结论

本文设计了3种不同配置、含有负电容谐振分流电路的压电声子晶体杆，并对其进行了理论建模及仿真验证，可以得到如下结论：

1) 针对一维压电声子晶体杆模型，提出了3种含有多个压电分流单元的元胞配置，元胞中多个谐振频率不同的压电分流单元可以产生多个局域共振带隙，为带隙调控提供了更多的可能。

2) 分流电路中的电路元件参数均可影响电磁振荡，进而影响局域共振带隙。为使目标频段内带隙宽度和平面波抑制幅度最大化，可以采用算法进行优化，得到电路参数的最佳匹配值，实现带隙合并或多频带调谐，为带隙调控提供了更多的方法。

含压电分流电路的声子晶体杆具有附加质量小，结构简单等优点，且仅通过压电分流单元即可实现带隙调控，无需改变结构。