三维Laplace 方程柯西问题具有Dirichlet 核的软化正则解

2021-01-03何尚琴冯秀芳

四川师范大学学报（自然科学版） 2021年1期

何尚琴，冯秀芳

（1.北方民族大学数学与信息科学学院，宁夏银川750021； 2.宁夏大学数学统计学院，宁夏银川750021）

数学物理反问题研究已成为应用数学中发展和成长最快的领域之一［1］.关于反问题理论和方法的研究最早可追朔到20 世纪20 年代Hadamard 在研究线性偏微分方程的Cauchy 问题对反问题不适定性的陈述和研究［2］.反问题一般有2 种形式，最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题［1］.许多反问题很难解决，有些反问题却很容易得到答案.显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，那些很难被解决的问题则被称为不适定的［1］.一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单的还是复杂的，改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题.另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题.在严格的数学意义上，通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答.然而，通过使用先验知识，通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案［3］.

求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解，这种方法称为正则化方法［4］.如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容.通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov正则化、各种迭代方法以及其他的一些改进方法，这些方法都是求解不适定问题的有效方法，在各类反问题的研究中被广泛采用，并得到深入研究［4］.

Laplace方程又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，是椭圆型方程的典型代表［5］，在电磁学、流体力学、地球物理、无损探伤、医学和军事中有广泛的应用.在工程和实际问题中，人们经常会遇到Laplace方程Cauchy问题的求解，而该问题是一类严重的不适定反问题.针对Laplace 方程Cauchy 问题的求解，目前有Tikhonov 正则化方法［6］、逆可逆正则化方法［7］、小波正则化方法［8］、中心差分正则化方法［9］、Fourier 正则化方法［10］以及软化法（又称磨光化方法）［11］.用软化法研究柯西问题最早出现在逆热传导问题（IHCP）研究中［12-14］.Murio［15］利用Weierstrass 核研究了逆热传导问题（IHCP）的正则化解. Hào［16］以de la Vallée Poussin 核（周期及非周期）以及Dirichlet 核作卷积算子研究了逆热传导方程及其一般的抛物方程Cauchy问题的正则解，并在Hölder 空间中讨论了收敛阶；Hào［17］又以Dirichlet核与de la Vallée Poussin核构造软化算子，研究了抛物方程的非特征柯西问题（NCP）的解.文献［11，18 -20］以Gaussian核做卷积算子给出了Laplace 方程、Helmholtz方程以及椭圆方程的正则化解.而关于其他核函数，比如Féjer核、de la Vallée Poussin 核以及Dirichlet等核用于解决椭圆方程不适定问题的文献鲜有出现.Hào［17］虽然提到用Dirichlet 核构造软化算子解决二维Laplace方程柯西问题，但在收敛性证明中采用伪逆算子法，以致正则参数的选取规则过于复杂，并且该方法不利于三维问题的探究.

本文利用二维Dirichlet 核函数与观测数据作卷积，构造软化算子，得到了三维Laplace方程不适定问题的正则化解，同时给出精确解与正则解之间的误差估计.最后，通过数值算例验证所提出方法的有效性和可行性.

考虑定义在柱型域内三维Laplace方程Cauchy问题

这里g（·，·）是给定的函数.由于数据g（·，·）是建立在物理仪器观测基础上，必定存在误差，记gδ（·，·）为测量数据，假设精确数据g（·，·）和测量数据gδ（·，·）都属于L2（R2）且满足

其中，δ ＞0 表示误差水平，‖·‖2表示L2-范数.

1 问题不适定性分析

设＾u（w，η，z）表示函数u（x，y，z）关于变量r=（x，y）∈R2的Fourier变换［21］

其中，f（x，y）∈L2（R2），＾f（ξ）∈L2（R2）为f（x，y）的Fourier变换.

对问题（1）两边关于变量r=（x，y）作Fourier变换，转化为下列常微分方程初值问题

2 软化法求解

下面用具有二维Dirichlet 核的软化法求解问题（1）.引入二维Dirichlet核函数［16］

其中uα，δ为问题（1）对应于扰动数据gδ的正则化近似解.根据Dirichlet核的性质（3）有

利用Dα的性质（4）得

注1在假设（2）之下有

其中k是正有限常数.

由（7）式可知，当函数g（x，y）和对应测量数据gδ（x，y）满足‖g-gδ‖2≤δ 时，对应的软化算子与函数g（x，y）之间的误差不超过kδ.

下面证明当δ→0+时，近似解uα，δ（x，y，z）收敛于精确解u（x，y，z），并给出误差估计式.

3 误差估计及参数选择

容易证得下列引理.

引理1设0 ＜z＜d，函数

下面首先考虑在0 ＜z＜d情形下正则化近似解与精确解之间的误差估计，假设有如下先验界成立

定理1设u（x，y，z）是Laplace方程（11）的精确解，uα，δ（x，y，z）是问题（1）用Dirichlet 核软化后的正则近似解.假设条件‖g-gδ‖2≤δ 和假设（8）成立，则当0 ＜z＜d时，有不等式

若取正则化参数

则有误差估计

证明由Parseval等式（3），有

其中，每一Dk（k=1，2，…，9）见图1.

图1 每一Dk（k=1，2，…，9）Fig. 1 For each Dk（k=1，2，…，9）

即

下面考虑边界z=d处的情况.为了恢复z=d处解u（x，y，z）的稳定性，引入比（8）式更强的先验界

定理2设u（·，·，d）和uα，δ（·，·，d）是Laplace方程（1）在边界z=d处的精确解和Dirichlet核软化后的近似解，假设条件‖g-gδ‖2≤δ和先验假设（11）式成立，有下面结果

若取正则化参数

4 数值实验

本节给出一个数值例子验证Dirichlet 核软化正则化方法先验参数选取规则的有效性，所有计算在Matlab R2017b中实现.数值例子中，离散区间选取为［-10，10］×［-10，10］，这里取d=1.为了产生测量数据gδ（x，y），方差为ϵ 正态分布的随机扰动被加到数据g上，即

在数值实现中，要对各个函数进行二维离散的Fourier变换及离散的Fourier逆变换［21］.

例1取函数

为问题（1）在［-10，10］×［-10，10］上的精确数据函数.记

为精确解及其近似解之间的相对误差.检验了N=100，z=0.3，δ 取不同值δ =10-2，δ =10-3，δ =10-4，δ =10-5时对应精确解与正则逼近解之间的相对误差.表1 列出了不同误差水平下精确解和逼近正则解之间的相对误差及其正则参数α的值.图2 为精确输入数据与z=0.5 时问题（1）的精确解.图3 给出了z=0.5 处δ =10-3与δ =10-5时问题（1）的正则近似解.图4 展示了z=0.5 处δ =10-4与δ=10-5时精确解与正则逼近解之间的误差u-uα，δ.图5 给出边界z=1 处精确解与p=3，δ=10-5正则逼近解.图6 为边界z=1 处精确解分别与p=3，δ=10-6及p=0.5，δ=10-6时正则逼近解之间的误差.

由表1 以及图2 至图6 可以看出，随着误差水平δ的减小，逼近效果越好。也就是说，随着误差水平δ的减小，数值解越来越稳定。