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Lotka-Volterra 竞争模型全局解的存在性

2021-01-03武瑞丽李军燕钱小瑞

关键词:锐角稳态算子

武瑞丽, 李军燕, 钱小瑞

(四川大学 锦城学院,四川 成都611731)

Lotka-Volterra 竞争模型是S -K -T 生物模型的退化形式.S-K-T生物模型最早是由生物学家Shigesada等[1]于1979 年提出的,他们为了研究2 种相互竞争的物种在种群内部和种群间繁殖压力下的空间分布情况,给出了一个竞争模型,该模型(S-K-T)具有如下形式

其中,u和v为2 种相互竞争生物物种A 与物种B的种群密度,Ω⊆R2为有界光滑区域,代表2种物种的生存区域,系统参数ai、bi、ci和di(i=1,2)均为正常数,d1、d2分别表示物种A和B 的随机扩散率,a1、a2分别表示物种A和B的固有增长率,b1、c2分别表示物种A和B 的种群内部竞争系数,c1、b2分别表示物种A和B的种群间的竞争系数,ρ11、ρ22分别表示2 物种种群内部的自扩散率,ρ12、ρ21表示物种A和B的交叉扩散率,即2 种物种之间的繁殖压力强弱.齐次Neumann边界条件代表物种在区域Ω的边界处与外界无交换,n为单位外法向量.

近来,人们对带交叉扩散项和自扩散项的S -K-T模型(1)进行了广泛且深入的研究.在一定的初边值条件下,文献[2 -3]得到模型(1)的解是局部存在的,即当初始值φ(x),ψ(x)∈W1,p(Ω)(1≤p <∞),对T=ε 时,问题(1)存在局部解.随后,文献[4 -5]考虑了问题(1)在一维空间中整体解的存在和唯一性.进一步地,文献[6]证明了在任意n维空间中模型(1)的正平衡解的存在性.此外,文献[7]证明了当ρ11=ρ22=0 时,问题(1)存在全局解.

当不考虑自扩散项和交叉扩散项的情况时,即当ρ11=ρ12=ρ21=ρ22=0 时,模型(1)退化为经典的Lotka-Volterra竞争模型

模型(2)已经被许多学者所研究,文献[8]证明了问题(2)不存在非常数的正稳态解,且当t→∞时,问题(2)的非负解会趋近于常值稳态解.进一步,文献[9]研究了当区域Ω为凸集时问题(2)稳态解的存在性.更多关于Lotka-Volterra竞争模型的研究结果可以参见文献[10-12].

本文讨论了Lotka -Volterra 竞争模型(2)全局解的存在性.运用经典的Galerkin方法及能量估计得到Lotka-Volterra竞争模型(2)在空间L2((0,T),Z)∩L∞((0,T),Y)中存在全局弱解.此外,还讨论了Lotka-Volterra竞争模型(2)相应稳态方程解的存在性.由弱连续算子的锐角原理得到Lotka-Volterra竞争模型(2)的相应稳态方程在空间W1,2(Ω,R2)∩X中存在弱解,其中X、Y、Z的定义如(3)式.弱连续算子的锐角原理是文献[13]首次提出并运用的,该理论具有一般性,可以解决一大类完全非线性偏微分方程解的存在性问题,如文献[14]运用带时间的弱连续算子锐角原理(简称T -弱连续算子理论)证明了二维不可压缩Marangoni问题的全局弱解存在性,更多详细内容可参阅文献[14 -18].

1 预备知识及锐角原理

首先,给出一些重要的函数空间及全局弱解的定义.

令Ω⊆R2是一个有界开集,Hτ(Ω)(τ =1,2)是通常的Sobolev 空间,其范数记为‖·‖Hτ.L2(Ω)是Hilbert空间,其范数记为‖·‖.令X是一个Banach空间,对任意p=(p1,p2,…,pm),pi≥1(1≤i≤m),定义

其中|·|i(1≤i≤m,m≥1)是X上的半范,且

其范数定义为

而对于p=∞,记

在[0,T]上除零测集外一致有界},其范数定义为

同理,可定义

下面根据文献[13]中的定义1.13 给出问题(2)的全局弱解的定义.

定义1.1假设φ,ψ∈Y,则对任意T>0,(u,v)称为问题(2)在(0,T)×Ω 上的全局弱解.若对任意(α,β)∈X和任意t∈(0,T)都有

其次,介绍弱连续算子的锐角原理.弱连续算子理论是解决非线性椭圆方程解存在性的有力工具,这里主要介绍弱连续算子的定义和弱连续算子的锐角原理,该原理在文献[18]中首次建立并运用.

令X是一个线性空间,X1、X2是X在各自范数下的完备化,令X2是自反Banach 空间,X1是可分Banach空间.X1*是X1的对偶空间,且X⊆X2.

又假设存在一个线性映射L满足L:X→X1是一对一且稠密的线性算子.

下面,给出弱连续算子的定义.

2 主要结果

首先,给出问题(2)解的全局存在性结果,并运用经典的Galerkin方法证明该定理.

定理2.1令初值(φ(x),ψ(x))∈Y,则问题(2)存在全局弱解

证明根据标准的Galerkin方法,令是Z和Y的公共正交基.记

则Zk是Z的子空间,Pk:Z→Zk是相应的正交投影.

方程(2)的近似解具有如下形式:

这里是依据Stokes算子的特征函数展开的,其中系数cik和dik可通过uk和vk满足的如下方程解出

其中a=max{a1,a2}.

注意到:

结合(13)-(15)式及Gronwall不等式,可得:

不等式(16)-(18)意味着近似解(uk,vk)是全局存在的,并且(uk,vk)在L2((0,T),Z)∩L∞((0,T),Y)中对任意0 <T<∞是有界的.因此,存在(uk,vk)∈L2((0,T),Z)∩L∞((0,T),Y)及子序列.为了方便,这里仍记为{(uk,vk)},使得

只需证明(20)式右边的每一项都是一致有界的.

对任意h(0 <h<1)和(α,β)∈X,易知:

因此,根据(20)-(25)式可得

其中,C是与k无关的常数,则对任意固定i,cik关于t∈[0,T]是一致有界且等度连续的.根据Arzela -Ascoli定理可知

因而有

类似地,对任意β∈X有

根据引理1.2,并结合(27)和(28)式很容易知,在L2((0,T)×Ω)中有

从而定理得证.

下面,给出稳态方程解的存在性.与问题(2)相对应的稳态方程为

关于方程(30)的弱解定义如下.

定义2.1如果对任意(α,β)∈X1,(u,v)∈Z满足下面等式

则称(u,v)是方程(30)的弱解.

根据弱连续算子的锐角原理知,问题(30)有如下存在性定理.

定理2.2令Ω⊆R2足够光滑,问题(30)存在弱解(u,v)∈Z=W1,2(Ω,R2)∩X.

证明首先,定义映射为如下内积形式

对任意Φ =(u,v)∈Z,Ψ =(α,β)∈X1,也即(32)式定义了一个空间X1上的线性泛函另外,线性映射L可取为

这里I是包含映射.

其次,验证锐角条件(4).由(32)式知,对任意Φ∈X有

其中,d= min{d1,d2},a= max{a1,a2}.又结合Poincáre不等式知,取d足够大,有

Φn→Φ0于Lp(Ω,R2)中, ∀1 ≤p <∞.因此,(34)式显然成立.定理得证.

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