Dashnic-Zusmanovich 矩阵的线性互补问题解的含参误差界

王芝凤， 李朝迁

（云南大学 数学与统计学院，云南 昆明650500）

1 预备知识

线性互补问题为寻求向量x∈R满足：

其中，矩阵M∈Rn×n，向量q∈Rn，记为LCP（M，q），其不仅在运筹学与计算数学上具有重要应用，还在金融学和工程中也有广泛应用，如空间价格平衡问题、最优控制问题、障碍和自由边界问题等［1-3］.

众所周知，当矩阵M为P-矩阵时，LCP（M，q）存在唯一解.Chen等在文献［1］中给出了关于P -矩阵线性互补问题解的误差界估计式

x*是线性互补问题的解，I是n阶单位矩阵，D是正对角矩阵且其主对角元di∈［0，1］，i∈N =｛1，2，…，n｝，r（x）=min｛x，Mx+q｝，即取分量x与Mx+q最小.由于（1）式中的（I-D+DM）-1不易求得，许多学者针对（1）式中矩阵M是特殊结构矩阵且是P-矩阵时，给出了对应的误差界估计式，如B -矩阵［4］、DB-矩阵［5］、Nekrasov -矩阵［6］，以及H -矩阵的一些子类矩阵（要求其对角元均为正）.

本文主要讨论P-矩阵的子类矩阵、Dashnic -Zusmanovich矩阵的线性互补问题，给出其含参数的误差界估计式，并借助以该参数为函数的单调性，在给定的条件下讨论其最优值.

定义1.1［7］设A=（aij）∈Cn×n，若存在j0∈N，使得

定理1.5［10］若矩阵A=（aij）∈Rn×n为H -矩阵且其主对角元均为正，且

max（Λ，I）=diag（max｛a11，1｝，…，max｛ann，1｝），则

2 DZ-矩阵的含参线性互补误差界

应用引理1.3 和1.4 给出DZ -矩阵线性互补问题含参误差界.

命题2.1若矩阵A为DZ-矩阵，则存在正对角矩阵

证明因AW是严格对角占优矩阵，由d∈［0，1］n，（I-D+DA）W=W-DW+DAW，知（I-D+DA）W是主对角元均为正的严格对角占优矩阵，且

3 数值例子

例1考虑DZ-矩阵

进一步，应用MATLAB 代码“fori=1∶ 1 000；D=diag（rand（4，1））；end”随机选取1 000 个矩阵D，并计算‖（I-D+DA）-1‖∞的值，如图1 所示.显然，其都小于最优值1.266 7.

图1 例1 随机取1 000 个矩阵D下的‖（I-D+DA）-1‖∞的值Fig. 1 Values of ‖（I-D+DA）-1‖∞for the first 1 000 matrices D in Example 1

例2 考虑DZ-矩阵

由定理1.5 中（3）式计算得

应用定理2.3 中（iii）得

上述数值算例表明本文的结果在某些情况下较文献［10］中定理2.4（定理1.5中（3）式）更加优越.值得注意的是本文仅针对β ≥1 的条件讨论了inff1（ε）、inff2（ε）的值，但对于β ＜1条件下DZ-矩阵线性互补问题所对应的最优值问题仍有待于研究.

致谢云南大学“青年英才培育计划”项目对本文给予了资助，谨致谢意.