中考函数类问题的一些思考——以2020 无锡中考压轴题为例

江苏省无锡市南长实验中学 王 芸

函数是初中数学的重要内容之一，《义务教育数学课程标准》中明确要求学生“能用函数解决简单实际问题”。在全国各地的中考数学试卷中都少不了运用函数解决贴近实际生活的应用题，函数是中考数学中的一个重要考点。同时，函数还是初高中衔接和高中的重点学习内容。纵观近几年的无锡中考题，函数几乎都出现在最后两题的位置。函数命题一般有以下特征：问题综合难度较大，知识点涉及面广，对学生综合解决问题的能力提出了非常高的要求，是区分度比较强的一类问题。

函数类问题的解法一般比较多样，角度和信息都有比较强的综合性，考查学生全方位的数学素养。下面以一道无锡中考的函数压轴题为例进行探讨。

（1）若点A的横坐标为8。

①用含m的代数式表示M的坐标；

②点P能否落在该二次函数的图像上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由。

（2）当m＝2 时，若点P恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式。

【分析】（1）①求出点A的坐标、直线OA的解析式，即可解决问题。

②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可。

【思考】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、待定系数法、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题。本题在论证过程中需要充分运用函数与几何性质，构建相应的方程，通过求解获得准确的点坐标、取值范围等内容，从而剔除其中的错误猜想，得出正确的结论。在日常教学中，教师可以根据本题的特点充分贯彻“先假设，后验证”的思路，培养学生的直观想象和严谨的推理能力。需要指出的是，通过几何直观更能准确地把握问题的本质。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。所以在教学中要注意培养学生借助几何直观解决实际问题的思维能力，切实发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。