基于发展学生数学学科核心素养的课堂教学策略——以“椭圆标准方程”为例

◎ 金振华

2014 年，教育部出台的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中，首次提出了“核心素养体系”这个概念，并且将核心素养定义为“适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。对于数学学科核心素养，许多专家也有相应的解释，目前认可度最高的是三个方面：①用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养；②用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养；③用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现。落实数学学科核心素养是必要的也是自然的，有的教师觉得，现有应试的压力使得教学的绝大多数时间都花在解题上，很少有时间和机会去关注和培养学生的数学学科核心素养。其实不然，对于学生的数学素养，只要教师加以重视，用探究的眼光去选取合适的教学方法，在日常数学教学活动中潜移默化、逐步渗透，不用额外增加学生的学习负担，也能够达成落实数学学科核心素养的目标。

在日常教学中培养学生数学学科核心素养的方式（方法）有很多，其中HPM（History and Pedagogy of Mathematics，即数学史与数学教育）视角下的教学方式经常被提及。根据教学目的和教学进程的需要，教师将数学史有机地融入教学过程中，促进学生掌握数学概念、方法和思想。然而数学史和教学结合的方式（方法）是否只是教师简单地在课堂上讲几个数学历史故事，介绍一下数学家的贡献，为了课堂呈现活跃的效果而把数学史放在教学环节中？答案当然是否定的。每一个数学定理或者概念的产生和发展历史处处体现着人类的智慧结晶，更融合了数学家们在数学思维方式上的能力和不断进步的素养。接下来，笔者以“椭圆标准方程”一课为例，围绕“教学流程”“概念引入”“概念探究”“概念应用”这四个课堂教学要素，来介绍数学史和数学教学的融合方式，以及探讨数学史与数学教学融合对于发展学生数学学科核心素养的作用。

一、基于重演法则的教学流程

重演法则意味着人类学习数学的过程，在某种程度上就是要重演古人数学思考和探索的过程。［1］法国数学家庞加莱甚至这样说过：“教育工作者的任务，就是要使儿童思想的发展踏过前人的足迹，迅速地走过某些阶段，科学史应当是这项工作的指南。”

例如，在解析几何的概念教学上就可以生动地运用重演法则。几何学的历史分为三个阶段：无意识的几何学、科学的几何学、论证的几何学。在具体的教学过程中，教师也可以模拟这三个阶段进行教学。笔者在本节课的开篇引入、中期的公式推导和后期的问题解决这三个部分，模拟了人类对于椭圆认识的三个历史阶段。

（1）无意识的几何认知。因为人类对于椭圆的初始认知是从直观观察开始的，所以教师通过生活中的实例引入，让学生在无意识中认识椭圆，让学生在这些感性知识的基础上建立虽然最简单但是科学的椭圆初始定义。

（2）科学地研究椭圆。在了解椭圆的基本形状后，教师介绍早期椭圆的定义：椭圆上任意一点M向直径AB引垂线，垂足为Q，则为常数。［2］然而这个定义较为复杂，因此这时学生可以再通过实验（如使用折纸，直尺和线、椭圆规作图，简单的模型等）发现一系列椭圆更简单的性质。

具体实施的教学过程为：首先通过作图和折纸归纳总结出椭圆的定义，即平面内到两定点F1，F2的距离的和为常数2a（2a＞｜F1F2｜）的动点的轨迹叫椭圆，然后通过学生的作图，探究以下四个问题：①2a＞2c＞0；②如果2a=｜F1F2｜，2a＜｜F1F2｜，动点M轨迹又是如何？③a，c的几何呈现，焦点、焦距的定义；④抽象出｜MF1｜+｜MF2｜=2a（2a＞｜F1F2｜）。得到完善后的椭圆定义，同时也完成数和形的对比。通过对认识新事物的重演，从简单到复杂、从表象到本质的过程，学生的数学抽象、直观想象等数学素养得到很好的锻炼。

（3）论证几何学。当学生们对于椭圆的表象认识已经开始完善时，教师再以论证和演绎的形式向学生讲授系统的椭圆方程，完成椭圆方程的证明。

具体实施的教学过程为：首先介绍解析几何的发展史，公元前4 世纪，一直到17 世纪，笛卡儿的“几何学”诞生了，开始用方程研究几何图形，就有数学家推导计算出椭圆的方程，接着模拟数学家当时对于椭圆标准方程的推导。

接着教师引导学生利用直角坐标系建系设标，进而利用椭圆定义列式，计算并化简得到椭圆的标准方程，推演出焦点在不同位置时对应不同的曲线方程。在这一系列的运算过程中，学生的数学计算能力得到很大程度的提高，同时也体现了数学建模的思想方法。

利用数学史进行重演的概念课并没有过多地占用额外的课堂教学时间，教学效果明显更好。在这一过程中，笔者发现数学教学越是真实地演化数学知识演进的过程，学生对之理解得越深刻。

二、基于直叙数学史的概念引入的课堂教学策略

由于数学概念往往比较抽象，所以概念的获得往往需要从具体的实例出发，在教学活动中为学生提供一些具体的问题，或者能反映概念本质属性的典型实例作为引入。而这些实例就可以从大量的数学史料中去寻找，让学生从真实的、可操作的实例中，通过类比、归纳、想象，找出共性结论，这样还原了数学概念生成的自然性，而且学生在学习过程中思维保持活跃，思维能力得到训练。

首先，笔者没有仅仅只是介绍椭圆的形态，而是通过历史上梅内克缪斯发现椭圆的一个并不是很简洁的性质（利用正圆锥，得到椭圆上任意一点M向直径AB引垂线，垂足为Q，则为常数）过渡到阿波罗尼茨得到的椭圆的定义，引导学生利用折纸、椭圆规作图等手段，通过归纳、猜想，总结发现椭圆更加简洁的性质，用精确的数学语言得出椭圆的定义。接着，笔者通过插入双球模型的介绍，总结回顾椭圆概念。这样的教学过程设计，笔者考虑了两个因素：①学生在历史介绍过程中，经历了一个数学概念形成的一段浓缩的数学发展史，体会数学概念生成的曲折，感受数学家对数学的追求和思维方式，这也正是用数学的眼光看世界，用数学建模的思维体系去解决问题的数学学科核心素养的体现；②学生在操作过程中，经历体会“数学抽象”过程，也正是发展核心素养的需要。

三、基于创生知识的概念探究的课堂教学策略

和重演法则不同的是，创生并不是简单地引导学生通过重演学习数学，并不是把知识所谓一个既定的结果让学生去“纳入”，而是通过完成自己的“有限”经历，体会知识的来龙去脉，发现概念，主动获得知识，就好像知识是学生自身创生出来一样。［1］然而课堂时间有限，这意味着在学生的学习中，教师不应当让他们重复过去的无数个错误，而是引导学生去踏准那些关键性的步调。

比如在这节概念课中，将推导椭圆的标准方程这个步骤安排在笛卡儿创立解析几何这段历史介绍之后。人类对于椭圆的认识顺序也是如此，想要研究椭圆更多的性质，只是单纯地了解椭圆的定义是不够的，因此在这里引入直角坐标系，让学生用发展的眼光看数学，同时一步一步引导学生自己完成椭圆的建系、列式并化简，从而最终得到椭圆标准方程。将一段枯燥的数学公式的推演，安排在特定的历史环境和特定的需求下去完成。教师不去讲述数学家在推导中遇到怎样的困难，而是让学生自己动手推演公式，在这个过程中体会计算的魅力，培养数学计算的核心素养。这里如果没有数学史料的引入，只是简单的灌输，也能让学生得到一定的思维训练，然而这样的训练不如让学生亲历人类数学发展过程中的曲折经历，通过自己的智慧创生新的技巧方法，来得更加有血有肉。教师应当充分发挥自身的教学智慧，合理营造数学史的育人环境，让数学史在培养学生数学核心素养中发挥应有的作用。

四、基于建构思维体系的概念应用的课堂教学策略

建构主义强调学生在建构过程中的主动积极性，以及建构过程中现实场域和人际互动的作用。这些思想认为所有的知识，都是学生已有的经验和新的知识交互作用的结果，数学学习并非是一个被动的吸收过程，而是一个以主体已有的知识和经验为基础的、在特定的场景中主动建构的过程。

课末，笔者提出一个问题：如何应用本节课新学习的椭圆方程解决数学史中梅内克缪斯所提出的问题？

对于这个问题的解决，当时古希腊数学家没有解析几何的基础，因此解题非常困难和繁琐。通过教师的启发，学生利用解析几何设点M（x，y），用x，y表示结果通过计算发现得到常数。学生在这个环节的过程中，完成对知识的建构，将椭圆的性质和概念统一、系统化。用新知识去解决旧问题，用新技巧去考察旧定理，在这个思维习惯中，发展他们的数学数据分析素养。利用所学的技巧方法，去解决数学史上曾经的问题，思考问题不僵化。无形中，学生的数学思维品质得到锻炼，同时也可迅速提升学习的成就感和获得感。基于一定的数学史背景下进行数学建构教学，在信息丰富而又具有数学针对性的研究资源下，学生建构得最为成功。

首先，通过教师对数学发现的历史的讲述，重新复现了数学发现的典型场景，对于学生数学知识的建构是最为有利的；其次，学生对数学知识的建构，均需建立在原有知识的基础上，需要通过一步一步的阶梯来达到高层次的水平，数学史将数学发现的过程按逻辑呈现出来，给学生提供了“阶梯”；最后，数学知识的建构，也是学生自我经验和先人智慧“视界融合”的过程，古人通过数学史，更充分地“表达”了自己的观念，因此能够让学生获得更好的建构。

五、结论

必须承认，数学史引入课堂只是一种辅助的教学手段，不可能完全代替纯粹的数学教学。然而这类补充方式，并不是可有可无的形式，也不只是简单的数学历史的普及，它至少有以下三个方面的优点：①用数学的眼光观察世界，用数学的发展史帮助学生更好地理解数学；②用数学的思维分析世界，培养学生的创造性思维能力，激发学生学习数学的兴趣；③用数学的语言表达世界，培养学生的人文素养，帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，从而增强学生学习数学的动力。张奠宙教授认为，数学人才的培养需要有才、学、识这三个方面素质。其中“识”即见识，是引导知识和能力走向何方的根本性问题，其背后是学生对于知识融会贯通之后的个人理解，体现了个人对人生观和价值观的感悟，而数学史恰恰在这其中起到很重要的作用。