熟悉的陌生人——如何解多项选择题

端木彦

多项选择题，即正确选项不止一个的选择题.模拟卷中的评分规则为：全部选对得5分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分.2021年高考很有可能有此种题型.

以往高中数学试题中没有多项选择题，不过有一类我们很熟悉的题，表面是单项选择题，其实与多项选择题相似.

右栏的这道题你会做吗？2019年，全国有4 份高考卷中出现了这种题型．看来，多项选择题对我们来说还真是一位熟悉的陌生人，那就来深入了解一下这位朋友．直接法、排除法、数形结合法、特值法等单项选择题常用方法，都可以用来招呼这位朋友；比较异同法、综合法等方法，这位朋友也挺喜欢．

一、直接法

即从已知条件出发，结合相关定理、法则、定义等，通过准确的运算、严谨的推理得出正确结论的方法．简言之，直接求．

例1在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(1,m)(m＜0)，则下列各式一定为正的是（ ）

A．sinα+cosαB．cosα-sinα

C．sinαcosαD．

引例（2019年全国Ⅰ理科卷）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2．其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①②④ B．②④

C．①④ D．①③

（答案见例6）

解析

由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解，正确答案为BD．

二、排除法

“去伪存真”的奥义在此法中体现无疑，解题时可通过排除一些较易判定的、不合题意的选项，缩小选择范围.

例2下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（ ）

A.y=x3B.y=x-2C.y=e|x|D.y=lgx2

三、数形结合法

把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，使抽象问题具体化，常用于解决有几何背景的问题.

例3已知两点M(-3,0)，N(3,0)，给出下列曲线方程，在其所对应的曲线上存在点P满足PM+PN=10的曲线方程为（ ）

A.x-y+5=0 B.y2=4x

四、特值法

运用题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形等对各选项进行校验或推理，利用一般与特殊的辩证关系判断正误.

例4若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）

A.若1 ＜t＜5，则C为椭圆；

B.若t＜1，则C为双曲线；

C.若C为双曲线，则焦距为4；

D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则3 ＜t＜5．

五、比较异同法

这类多项选择题的特点十分明显，即选项中存在内容对立的情况，此时应考虑从对立选项中选出正确的．

例5对于给定的正整数数列{an}，满足an+1=an+bn，其中bn是an的末位数字，下列关于数列{an}的说法正确的是（ ）

A.如果a1是5 的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必有相同的项；

B.如果a1是5 的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必没有相同的项；

C.如果a1不是5 的倍数，那么数列{an}与数列{2n}只有有限个相同的项；

D.如果a1不是5 的倍数，那么数列{an}与数列{2n}有无穷多个相同的项．

解析

由“偶函数”排除A，由“递增”排除B，故正确答案为CD．

解析

根据椭圆定义，P点轨迹方程为椭圆，故可通过作图看公共点情况进行快速求解．正确答案为ABC．

解析

当t=3时，曲线C为圆，故A 错．当t=0时，方程表示双曲线，但此时焦距不为4，故C 错．当t=4时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．对于B,D，特殊值代入正确，可进一步精确计算：若曲线C为双曲线，则(5-t)(t-1)＜0，得t＞5 或t＜1；若曲线C为焦点在y轴上的椭 圆，则0 ＜5-t＜t-1，得3 ＜t＜5.故选BD．

敲黑板

因为多项选择的答案不唯一，所以选取特殊值时需要格外谨慎．如例4 的A 选项，若选择范围内的其他特殊值，都会掉入陷阱．

六、综合法

在多项选择题中常与直接法结合使用.如引例，我们可以将它改编为多项选择题如下：

例6已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|，下述四个结论中正确的是（ ）

A.f(x)是偶函数

B.f(x)在区间上单调递增

C.f(x)在[-π,π]上有4个零点

D.f(x)的最大值为2

值得注意的是，多选题的每一个选项都可能是满足题意的，所以逐一计算审核选项的过程必然会增加答题时间.常见的典型错误、容易混淆的概念、不够全面的思考，都可能成为干扰我们得分的因素.所以，同学们更要认真审题，认真分析选项情况，再通过验证等方式检验，保证选项完全正确.最后，认真、规范地填写答案.

知己知彼，百战不殆，希望同学们可以与多项选择题成为好朋友.

小试牛刀

1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=72,a7=10，则（ ）

A.an=n+3 B.an=2n-4

2.已知函数f(x)=xlnx+x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）

答案：1.AC；2.AD

解析

因为选项中AB 为一组，CD 为一组，各组内两选项彼此对立．故只需在两组内围绕关键词研究即可．

当a1是5 的倍数，则数列{an}的末位数字是5 或0，数列{2n}的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，则B 正确．当a1不是5 的倍数时，这个数加上它的末位数字所得数的末位数字只能是2，4,6，8，数列{an}的末位数字只能是2，4,6,8,数列{2n}的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，则D 正确．故此题答案为BD．

解析

很明显A 正确，易知f(0)=0，故f(x)在关于原点对称的区间内只可能有奇数个零点，由此排除C 选项．再用直接法得到区间上的f(x)=2 sinx，故B 错误．对D 的判断则可以用极限法，因 为sin|x|≤1 且|sinx|≤1，故只要两个等号同时成立则D 正确，显然时成立．所以，正确答案是AD．

敲黑板

多项选择题的得分规则“多选得0分，部分选对得3分”也很重要．一旦出现拿捏不准的选项，可采用保守策略，宁“缺”勿“滥”，得保险分．不过话虽如此，能得5分才是王道哦！