立体几何

一、填空题

1.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2，则它们的体积比是________.

2.已知L，m，n是空间中的三条直线，给出下列四个命题：①若L∥m，L∥n，则m∥n；②若L⊥m，L⊥n，则m∥n；③若点A，B不在直线L上，且到L的距离相等，则直线AB∥L；④若三条直线L，m，n两两相交，则直线L，m，n共面.其中正确命题的序号为__________.（填写所有正确命题的序号）

3.（2017年全国卷Ⅱ）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.

5.（2019年长治二中月考）在正方体中，下列说法正确的是________（填序号）.

①直线AC1在平面CC1B1B内；

②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；

③由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；

④由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面.

6.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题，其中所有“可换命题”的序号是________.

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两平面平行.

7.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：

①△DBC是等边三角形；

②AC⊥BD；

其中，真命题的序号是________.

8.从一个半径为1的圆形铁片中剪出圆心角为x弧度的一个扇形，并将其卷成一个圆锥（不考虑连接用料），若圆锥的容积达到最大时，则x的值是________.

9.（2019年全国卷Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.

（第9题）

二、解答题

（第11题）

（1）求证：AB⊥平面PBC；

（2）在棱PB上是否存在点M，使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

12.如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点.

（1）若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；

（2）若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点.

（第12题）

（第13题）

（1）求证：MQ∥平面PAB；

（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：PD⊥平面AMN.

14.（2020年苏州中学模拟）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，，AA1=2.

（第14题）

（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；