把握数学知识的本质

摘 要：文章作者在翻阅教学杂志时，读到一位教师撰写的《奥运会到底开了多少天——计算“经过时间”的争论》一文，产生了一些不同的见解。文章以这位教师关于“奥运会到底开了多少天”的话题为例，从把握数学知识的本质出发，追问问题的症结，以寻求教学的应对之策。

关键词：时间;小学数学;本质

读了文章《奥运会到底开了多少天——计算“经过时间”的争论》（以下统称原文）之后，笔者从中了解到有些教师对北师大版三年级数学上册“年、月、日”一节中“练一练”的一道习题（如图1）进行了探讨与争鸣。

众所周知，第29届北京奥运会开幕时间是2008年8月8日，闭幕时间是2008年8月24日。原文描述了教师们的争执：有的老师不解，计算奥运会一共举行的天数，在24-8后应该要加1，一共是17天，这与原题的16天是矛盾的;还有老师认为不要加1，这与计算小单位的经过时间是一回事，如8：08—8：10共2分钟，       10-8=2，都是计算经过的时间，计算方法也应该是一致的。

针对教师们的争执，原文认为问题的焦点在于计算经过时间的方法上，要搞清楚方法，就要重点区分“历时”和“一共”，即经过16天和一共17天不矛盾，这是一个问题的两个方面，而不是一个问题两个答案，更不是数学严谨不严谨的问题。之所以争论不休，是混淆了“历时”和“一共”两个概念，即经过几天和一共几天是不一样的，简单把8分到10分的计算方法等同于8日到10日的计算方法也是有误的。

原文建议借助线段图来解释，帮助学生理解：8分到10分经过了2分钟，是指从8分0秒到10分0秒，故，这种情况下经过几分和一共几分是一样的。（如图2，笔者根据原文释义所作）

一、小学数学中的“时间”内涵

“时间”和长度等一样，都是小学数学中常见的量，属于度量问题。数学中的度量不是物理学意义上的技能，其本质是给度量对象以合适的数，并使之满足“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”三个条件。

首先，时间的“有限可加性”。经过的时间即两个不同时刻之间含有多少个时间单位，可以分段求和计量，总量等于各部分量之和。例如，北师大版教材中，淘气吃早餐的时间可以表示为4个5分钟之和，也可以是6：55—7：00的5分钟与7：00—7：15的15分钟之和，时间的总量都是20分钟。其次，度量的过程隐含了时间的“运动不变性”。例如，先度量7：00到7：15的15分钟，再度量6：55到7：00的5分钟，时间总量保持不变。如果把6：55到7：00的5分钟后移至7：15到7：20，时间的总量也是不变的。最后，时间的“正则性”，是指存在时间的度量单位。通常选定一个标准，称其为单位时间。例如，秒是国际单位制中时间的基本单位，当铯133原子处于非扰动基态时两个超精细能级间跃迁对应的辐射频率ΔνCs以Hz（即等于s-1）为单位表达时选取固定数值9192631770来定义秒。常用的时间单位还有：时、分、年、月、日等。数学和物理在这里和谐连接起来。

由此，我们也可以进一步看出“时间”和“时刻”的区别。“時刻”就是此时此刻，例如，8：08是一个“时间点”，这里的两个8都表示顺序，表示第8，是“序数”，不可度量;“时间”是两个不同时刻之间的有限的“时间段”，有长有短，可以度量，例如，8：00—8：08之间是8分钟，8：08—8：16之间也是8分钟，8分钟的8是数量的多少，是“基数”。值得一提的是，类似于“8月8日”，尽管这一天有固定的24小时，但相对于一个月、一年来说，也是一个“时间点”，表示第8，也是“序数”。

二、小学数学教材的编排

关于度量时间，笔者翻阅了国内影响较大的三个版本的教材，分别是北师大版教材、人教版教材、苏教版教材。

这些教材将度量时间安排在三年级学习，是基于学生的年龄与认知特点，故三个版本的教材都有在钟面“数一数”的设计，这样可以使问题更具直观性，把复杂问题简单化，抽象问题具体化。苏教版除了有钟面图，还有线段图，犹如一把“时间尺”，既是认识24时计时法时间轴的再忆，也是度量长度经验的迁移，图形直观更易启发学生思考和探索简单的方法。人教版和苏教版教材在最后还给出了“减法计算”。可见，度量时间既有在钟面上数一数的动作表征，也有画线段图的图式表征，还有减法计算的算式表征，体现了适应学生个性发展的需要，不同的人在数学上得到不同的发展。

三、小学生认知的起点

其一，日出日落，我们每天都在经历着时间的流逝，“石英钟”“电子钟”等是学生从小就接触的计量时间的工具，我们每天都在运用时间、计算时间。因此，小学生在学习“时间”之前已有了关于“时间”的初步的量感。

其二，在学习“度量时间”之前，学生已在小学数学教材中认识了时间单位和时刻，并通过“度量长度”积累了一些度量经验，这些经验会迁移在后续的学习中。

四、小学生的学习过程

学习度量时间时，在钟面图、线段图的辅助下，学生能直观感受到在一天中（采用24时计时法），时刻a到时刻b之间含有的时间单位的个数，正好等于“b-a”的值，这样的规律确实是对的，而事实上，我们的教师也是这样教的。于是，学生头脑中就形成了“经过的时间=末时刻-初时刻”的解题模型。同时这个模型和度量长度的经验是一致的（线段的长度=末刻度-初刻度），学生的认知结构在同化的过程中变得丰富、提高和发展。

也正因为如此，“经过天数问题”属于度量时间范畴，学生利用已有的解题模型进行迁移，直接用“经过天数=末日期-初日期”进行解答，便显得“理所当然”。

五、问题的症结以及解决办法

“时间”和“时刻”是有区别的，那么两个“时刻”相减意味着什么呢？能等于“时间”？还是因为数值正好等同于“时间”的数值就“名正言顺”的可以替代？这正是问题的症结所在。事实上，两个“序数”相减是没有任何实际意义的，两个“刻度”、两个“日期”亦是如此。只有转化成“基数”时，减法运算才有意义。肤浅地运用规律，虽能解一时之急，但副作用不容小觑。

要解决这个问题，唯有从源头上去理解，让学生触及数学的本质，这样，学生才能形成正确的解题模型。一方面，要明确“度量时间”的本质是用数去量化“时间段”，这个时间段的起点和终点在情境中要明确;另一方面，想要通过减法运算解决问题，就不能忽略减法运算的意义而徒有减法运算的外在形式，也就是这里出现的数必须转化成“基数”意义，学生在一年级时学习过的“几”和“第几”的相互转化正与此契合。

基于以上分析，解决此类问题便能迎刃而解。例如，问题1“14：00至16：00有多少小时？”，问题2“本月14日至16日有多少天？”在问题1中，起点是14：00，终点是16：00（如图3）;在问题2中，起点是14日，终点是16日（如图4）。

14：00和14日同为“序数”，不同点是前者在时间轴上是一点，后者在时间轴上是代表24小时的一段，14：00之前是14小时，14号之前是13天。两个问题都属于“度量时间”，因此本质上是一样的，即“一部分时间=总时间-另一部分时間”。

回到争论上来，“奥运会8月8日开幕，8月24日闭幕”。首先，起点8号算在里面没有疑义，又因为24号这天也在开奥运会，所以终点24号也要算在里面。

因此，这样算来，奥运会一共开了17天，这17天牵动着中华儿女每一个人的心，请问有哪一天没共同经历过？因此这里的“一共多少天”和“经过多少天”是一个意思，并不是所谓的“一个事情的两个方面”。那官方统计错了吗？当然没有，官方发布的信息更为正式，度量的时间段的起点和终点更为精确而已，其背后的数学原理是一致的。

美国著名数学教育家赫斯说：“问题不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学的争议。”当教学过程中出现争议，解决问题的正确方式应该是更多地关注核心概念的理解以及数学本质的揭示。不要被那些诸如“两头都算、一头算一头不算、两头都不算”的外在形式所干扰，那只不过是描述度量起点和终点的变式而已。透过现象看本质，唯有如此，才能促进学生思维的发展。

[参考文献]

[1]张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.

[2]周秋英.关注错误背后的“故事”——对“求经过时间”的教学思考.[J].教育研究与评论（小学教育教学），2015（8）：64-67.

课题项目：本文系江苏省教育科学“十三五”规划2018年度立项课题“小学数学：让学生‘带得走的‘寻理课堂实践研究”（C-c/2018/02/19）阶段研究成果。

作者简介：徐红兵（1981— ），男，中共党员，中小学一级教师，本科，区小学数学兼职教研员。