运算思路的探究与溯源——以一道联考试题为例

周鑫森

(江苏省泰州中学，225300)

数学运算是解决数学问题的基本手段,是数学学科的核心素养之一.笛卡尔创立的解析几何冲破几何学研究古典形式的束缚,随着“坐标”的概念的引进,实现了平面的“算术化”.用代数方法代替传统的几何方法,使几何学向前迈出了一大步.高中解析几何则成为培养学生运算素养的重要知识载体.2017年版新课标指出:在解决解析几何运算问题时,需要借助理解运算对象、运用运算法则、探索运算思路、设计运算程序、实施运算过程等一系列数学思维活动[1],阐明数学运算素养水平的表现,体会满意原则和加分原则,给学生以科学合理的思维训练.

一、运算思路探究

1.试题呈现

为了考察直线、圆的方程以及直线与圆的位置关系等知识,几所学校联考命制了如下测试题.

试题如图1,在平面直角坐标系xOy中,圆O的方程为x2+y2=1,圆O与x轴交于A,B两点,且B在A的右侧,设直线l的方程为y=k(x+2)(k≠0),直线l与x轴交于点P.已知直线l与圆O相交于M,N两点;连结AM,BN并分别延长相交于点C,问是否存在一定直线m,使得点C恒在该直线上运动? 若存在,请求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.

2.运算思路初探

这类问题研究在“变化”中寻找“不变量”.由于直线PM斜率的变化,引起直线l与圆O交点M，N的变化,进而影响直线AM与BN的交点C的位置.选择直线l的斜率k为参量,可计算出点C横坐标,使问题获解.

又联立直线AM,BN的方程,可得

①

利用直线l的方程,化简可得

评注如果学生能够选择适合的参量,结合已知条件计算推出表达式,化简整理得出结论,体会运算法则的意义和作用,根据满意原则,可认为达到数学运算素养水平一的要求.

3. 运算思路再探

评注如果能够这样思考,说明学生能够将题目中提供的数据融会贯通地运用到熟悉的等式,并且能够明晰运算途径、合理选择运算方法、设计运算程序,得到运算结果.根据加分原则,这样的学生可认为达到数学运算素养水平二的要求.

4.运算思路三探

二、运算思路溯源

数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.如果能够延申对问题的思考,探索思路的起点或源泉,能够理解运算是一种演绎推理,则可在数学运算素养水平三的基础上加分,是发展数学运算素养的高级阶段.本题的解题过程,我们可以寻得两个基本原理.

1.直线与三角形三边相交——梅涅劳斯定理

从解法3中不难发现本题有一定的平面几何背景,利用P，M，N三点共线探索出k1、k2的关系,这是梅涅劳斯定理[2]的基本构图.如图2，由梅涅劳斯定理，得

(*)

2.三线交于三角形中一点——塞瓦定理

观察∆ABC,我们有BM⊥AC,AN⊥BC.作CR⊥AB,则CR，BM，AN交于∆ABC的垂心,这符合塞瓦定理[2]的基本构图.如图3，由塞瓦定理，得

(**)

科学规划解题途径,来自于对问题的理解,来自于对问题背景的认识,来自于对问题中内在联系的洞察,来自于对问题结构的分析等.通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,有利于养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.这其实是通过数学问题解决培养学生综合素养的有效途径.