灵活换元 巧妙转化——谈基本不等式在最值问题中的应用*

刘梁华 孙娟娟 董庆伟

(山东省淄博实验中学,255000)

前苏联数学家亚诺斯卡娅曾说:“解题——就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题.” 求函数最值问题是高中数学的重点和难点.本文从如何合理地使用基本不等式求最值出发,探究解题思路,希望激发学生数学思维的灵活性和严谨性,更好地以不变应万变,不断培养学生的探究精神和创新能力,也希望起到抛砖引玉的作用.

一、求一元函数的最值

分析欲求两正数之和的最小值,基本不等式需要两正数之积为定值，本题中两正数之积非定值,因此需要转化处理.视正数x-1为整体,通过恒等变形创设条件可使问题获解.

二、求二元函数的最值

分析“1”在乘法运算里好像是可有可无的悲剧数字,但在求不等式的条件最值时,利用已知条件可完美实现“1”的华丽转身.

三、求三元函数的最值

评注本题将分母作整体代换,使三元函数的解析式与基本不等式的结构充分体现,显示了换元法在解题过程中等价转换、挖掘隐含条件的强大功能.

分析本题所求式中包含根号,若直接求解计算量会很大，观察发现三个变量的对称性极好,可通过换元去根号再求解,能使问题迎刃而解.

由上可见,针对函数形式复杂的一元、二元和多元函数最值求解问题,可以基本不等式为有效工具,分别采用单换元、双换元和多换元的方法,能化陌生为熟悉,化困难为容易,使千变万化的考题变得易于驾驭、轻松掌控.无论如何“拆”、“拼”、“凑”去变形转化,都要紧扣基本不等式的结构,引入换元,巧妙代换,创设条件,变动为定,转化化归,以达到求解的目标.