凸显运算素养的高三复习课教学设计

王 珂

(南京航空航天大学苏州附属中学，215121)

随着教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》的发布,“核心素养”已成为当下热门词汇.数学六大核心素养之一的数学运算,主要表现为:理解运算对象、运算法则,探究运算思路,求得运算结果.然而现阶段高中学生运算能力较弱,很多一线教师都有这样的体会:有些学生运算过程中不能选择合理简洁的运算途径,运算过程繁琐,准确率低;有些学生总是机械地套用公式,不会灵活进行变形.这些情况直接影响了高中数学的教学质量.因此,笔者认为,在高三复习过程中,教师要勤于研究,为学生创设合理的情境,寻找可以磨练学生运算能力的典型例题.

一、问题呈现

题目如图1,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.

此题为2020年4月份南京市一模考试的应用题,大多数学生习惯用余弦定理来解题,因涉及求解带有根式的高次分式函数的最值而以失败告终,全市平均得分较低.如何使学生有流畅的思维、灵活的方法选择和运算的优化等,就显得尤其重要.

在高三复习课阶段,学生已经储备了正余弦定理、两角和差公式和面积公式等与三角相关的知识点.鉴于学生对运用正余弦定理较熟悉,部分学生甚至出现思维定式,如何在灵活多变的高考题面前灵活应变,笔者引导学生多角度进行解题分析,并在此基础上对该题做了拓展延伸.

二、解法分析

1. 重现余弦寻疑惑

x4-333x2+2 916=0,

(*)

即(x2-9)(x2-36×9)=0,解得x=3或x=18(负数舍去).注意2x2-108>0,得所求距离x=18.

反思剖析(*)式看成关于x2的一元二次方程,对其因式分解是计算难点,必须善于观察.注意原始等式里的36,81,108这三个数有公因数9,(*)式可化简成x4-37·9·x2+36·92=0,因式分解随之可得.此外,应用题需注意变量x的取值范围,舍去增根.

设计意图回顾学生从最熟悉的余弦定理给出的解答,在肯定其思维合理性的同时查找疑点,正面引导学生在数据庞大的情形中要善于观察和思考,在数据的来源上寻找问题的突破口,启迪学生在掌握十字相乘因式分解的运算法则前提下,通过寻找公因数凑平方法优化运算,提升学生的数学运算素养(这也是学生最缺乏的).

2. 更换正弦思优化

设计意图由正弦定理分析斜三角形∆CAD,结合所求边适时引进边参x和角参α,由平行线建立Rt∆ABD与∆CAD的联系,得出α与x的联系,化简得到关于x的一元二次方程,有助于引导学生培养逻辑推理与综合运算能力. 探究运算思路的变化,所得方程极其简单,增根秒除,优化了运算.

3.巧用面积拓思维

由于表示面积的方法有很多,本题还可以考虑∆CAD的面积,用算两次列方程得出解答.

设计意图通过本解法的展示,意在引导学生体会数学问题的求解除了需要熟悉相关知识,有时还需要高观点指导,发挥常见数学解题思想方法的有效作用,拓展学生的思维,克服思维定势灵活解题.

4. 特殊图形显神威

上述三种方法各有各的特点,但都带有一定的运算量.若能数形结合,回归直角三角形这个特殊图形,将∠CAD分拆,利用两角和的正切公式可使问题简便解决.

设计意图本解法打破常规思想,跳出学生熟知的正余弦定理和面积公式认知圈.由特殊图形数形结合,利用和角的正切公式建立边的等量关系,使边的等量关系以更简洁的形式呈现.运算过程极其简单,让学生感受到优化数学运算的魅力.

三、变式拓展

变式1改变张角再求BD

设计意图变式1尽管只换了一个角,但给了角的正切值后,既缩小了思考范围,又改变学生一遇到问题就会联想正余弦定理而不考虑和差角的正切公式的定势思维,意在引导学生要从条件的细节出发思考问题,找线索是解题的关键.另外,变式1变成了两角差的正切公式,与上文形式不同而原理一样,让学生体验模型的多样性.

变式2移动AB求张角最值

继续变式.如图4,若CD是建筑物,CD=15,建筑物底端平面上点B处有一台升降机,BD=18,某人随升降机升高至点A处(AB

设计意图变式2将上文的定值问题变成了动态问题求最值,这是高考的热门题型.另外,景区观光电梯或者隔岸观景等应用题的数学模型也是这个模型,一模应用题简化后的数学模型也是这个模型的再变式.两角和差公式在变式模型中依旧适用,方法仍然简单明了,并且如果深挖这个模型,变化BD的值研究点A的位置,还能得到一般规律,这也体现了从特殊到一般的数学思想.

变式3变动BD求张角最值

将问题再做改动.如图5,在建筑物CD上有一块广告牌,广告牌最高点M处离地7.5米,最低点N处离地2.5米,若某人脚底在点B处,眼睛在离地1.5米的点A处观察广告牌,问BD为多少时张角∠MAN有最大值?

tan∠MAN=tan(∠MAE-∠NAE)

设计意图如果说变式2是纵向的动态问题,那变式3则是横向变换带来的最值问题,使原本的三角问题转化成函数问题,最终利用基本不等式来解决.多重维度的变换,让学生感受多样模型下解题方法选取的灵活性.课堂上如果时间允许,不妨再让点A做曲线运动,或者让学生编写题目,那这节课会更加丰富多彩.