水声环境UWA信道散射模型参数仿真分析

周文轩，周 杰，2，刘少云，英 文

1.南京信息工程大学 电子与信息工程学院，南京210044

2.日本国立新泻大学 工学部 电气电子工学科，新泻950-2181

1 引言

水声（Underwater Acoustic，UWA）通信系统在20世纪主要被应用于军事领域[1]，而目前UWA通信技术在海洋信息数据采集、环境监测[2]、沿海石油勘探以及水下机器人控制等诸多领域发挥着重要作用。然而，由于激光和电磁波水下传播具有高损耗率，因而一般采用声波来传递信息。根据射线理论，假设声波在水中的传播方式与光线的能量相似，沿着直线传播，声波传播速度为一常量。在UWA通信系统中，Rx处的接收信号可以通过多径分量（Multipath Components，MPC）的总和来建模，其中每个MPC 以不同的时间延迟从不同的方向到达。由于UWA 信道是一种复杂的时空频变信道[3]，每个MPC都有独特的时空差异，这不仅直接影响信道特性，还影响接收机的决策。例如，由接收端Rx 的移动性引起的多普勒效应取决于AOA。类似地，在宽带UWA通信系统中，TOA 的分布在整个系统的时延分析中起着至关重要的作用。因此，缺乏TOA、AOA 和AOD 的统计数据会导致UWA 信道模型的不准确，与实际系统性能研究的目标相矛盾。

TOA、AOA 和AOD 的统计数据主要取决于两个因素。一个是传播区域的几何形状;另一个是传播区域内局部散射体的分布。设计合适的UWA 通信系统，信道模型不可或缺。已有研究人员针对UWA通信系统提出了建立几何散射模型的假设。几何假设包括Tx、Rx 的位置以及散射区域的形状。其中，典型的散射区域主要由环形、圆盘和椭圆形建模。在文献[4-5]中，研究了一种环形模型，其中局部散射体分布在以Rx 为中心的薄环上。文献[6]对空心圆盘模型的TOA 和AOA 的统计数据进行了研究，其中散射体位于空心圆盘内。在文献[7-8]中提出了另一种几何模型，其中散射体分布在以Rx 为中心的整个圆盘内。文献[8-10]研究了椭圆模型中的散射体情况。最后，在文献[11]中引入了竖直矩形散射区域，并对其信道的各项理论参数进行了分析。

另一方面，需要考虑所选水底几何模型内局部散射体的分布。由于均匀分布的简单性，以前的大多数研究都假设局部散射体均匀分布在散射区域[6，8，11-12]。然而，对于更现实的情况，局部散射体通常以高斯分布的方式分布在以Rx 为中心的圆盘中，在文献[12-14]中可以找到TOA和AOA统计的一些研究。然而，由于高斯分布的复杂性，所获得的结果主要以积分表达式或近似解的形式呈现。

考虑到上述两个关键因素，本文对基于水底几何圆盘UWA 信道散射模型的TOA、AOA 和AOD 统计数据进行了研究，其中局部散射体随机分布在以Rx 为中心的圆盘上。所提出的圆盘UWA信道模型的新颖性在于假设散射体均匀分布在极坐标中而不是在笛卡尔坐标中。根据所提出圆盘模型，其中局部散射体在极坐标中联合均匀分布，可以观察到圆盘中心周围的散射体密度较高，而远离中心点的散射体密度较低。事实上，通过在极坐标中采用联合均匀分布，可以避免高斯PDF所带来的高度数学复杂性，但却没有忽略文献[14]中强调的高斯分布的有利特性。此外，假设从Tx发射的UWA波经过圆盘内部的局部散射体发生单次反射之后到达Rx。基于上述因素，本文推导了圆盘UWA信道散射模型的传播统计特征，并解决了此前文献中关于类似模型由于高斯复杂性而仅仅获得积分形式解或近似解的情况，取得了更简单但精确的表达式。

2 系统模型

水底几何圆盘UWA信道散射模型如图1所示。假设Tx 与Rx 位于同一二维（2D）水底平面环境上，其中Tx处于非散射区域，旨在将UWA波发送到处于富散射区域的Rx。假设Tx和Rx之间的距离为L,θT、θR分别表示AOD和AOA。此外，假设局部散射体随机且独立地分布在以Rx 为中心，以R为半径的圆盘内，且距离Rx越远越稀疏。每个散射体的位置可以用极坐标(r,θR)表示，其中r表示散射体与Rx 的距离。假设圆盘内的每个散射体均全向散射，其反射系数都相同且散射体间互不影响。由于具有较高的路径损耗，因此忽略了来自圆盘以外散射体的影响，并假设从Tx发射的UWA波经过位于圆盘内随机分布的散射体单次反射之后到达Rx。最后，假设Tx 和Rx 都配备了全向天线，这样在计算UWA 波的空时信道参数时，就可以避免由于天线方向图变化而导致的散射体区域的变化。

图1 水底单反射几何圆盘UWA信道散射模型

如上所述，假设局部散射体随机且独立地分布在以Rx 为中心，以为R半径的圆盘内。该随机性通过联合均匀PDF建模，并可以用以下极坐标表示：

由上所述，公式（1）中的联合均匀PDF 也可以用以下笛卡尔坐标表示：

需要注意的是，公式（2）与下面公式（3）的笛卡尔坐标中的均匀分布完全不同：

其中假设局部散射体在圆盘内均匀分布，由此给出的水底圆盘UWA信道散射模型可由以下极坐标表示：

在文献[6，8，12]中，由公式（3）或（4）描述的圆盘散射模型的统计特征已被广泛研究。然而，本文旨在分析水底环境的UWA 信道，且通过极坐标中的联合均匀PDF来描述局部散射体的分布，其已在公式（1）和（2）中给出。图2 给出了本文所提出的随机分布的局部散射体，其中半径R=50 m 其通过使用公式（1）中的PDF 生成。可以在原点附近即Rx位置处观察到更高密度的局部散射体，且散射体的密度随着与Rx 的距离也即r值的增加而减小，这更接近作为高斯分布的局部散射体的物理现实。这一现象得到以下事实的支持：在许多海底环境中，由海底植物和沙石等构成的局部散射体在Rx周围具有高密度，在较远距离处具有较低密度，或者也可以理解为近端散射体作用大于远端散射体。通过在极坐标系中建立如公式（1）所示的联合均匀分布PDF，对比在笛卡尔坐标系中建立如公式（3）所示的联合PDF，或是在文献[13-15]中研究过的联合高斯PDF，可以在生成的随机UWA 信道模型的统计特征方面，显著地降低问题的复杂度。因为若采用笛卡尔坐标系对散射体建模，则散射体位置需要以坐标( )x,y表示，对比在极坐标系只需中引入一个变量r，在后续的统计特征推导过程中，会增加额外的计算复杂度。

图2 水底圆盘内局部散射体分布图

3 水底圆盘UWA信道模型的统计特性

根据上述的水底UWA 信道参考模型，本章推导出其TOA 和AOA 的 联 合PDF 以 及AOD 和AOA 的 联 合PDF 的闭式表达式。此外，还计算了其TOA、AOA 和AOD的边缘PDF。

3.1 TOA和AOA的联合PDF

通过参考图1 的UWA 信道模型，并且只考虑单次反射，UWA 波经过散射体从Tx 传播到Rx 的总路径长度为：

为了得到TOA 和AOA 的联合PDF，引入函数τ'(r,θR)=Ls(r,θR)/cs及辅助函数S(r,θR)=θR[15]，其中τ'表示TOA，cs=1 500 m/s（等速环境）表示声波在海水中的传播速度[1]。可以看出，这些函数的根可由下式给出：

通过应用随机变量转换的概念[16]，TOA 和AOA 的联合PDF可以表示为：

将此表达式代入到公式（7）的联合均匀PDF 中，可以得出TOA和AOA的联合PDF，表示如下：

其中，[],θR∈[-π,π] 。符号和分别表示最小和最大TOA。根据图1，当散射体与Rx 具有最小距离时，TOA 为,即当r→0,则。类似地，当散射体与Tx相距最大距离时，即当r→R且θR→0 时(L+2R)，取得最大TOA为。

3.2 AOD和AOA的联合PDF

采用图1中的几何圆盘UWA信道散射模型并根据正弦定律，θT可以表示为：

通过再次使用随机变量转换的概念，可以得到以下AOD和AOA联合PDF的表达式：

注意到 |J|-1可以很容易地被简化为| ∂r/∂θT|的形式，通过结合公式（1）中的联合均匀PDF，θT和θR的联合PDFpθT,θR(θT,θR)可以用以下的闭式表示：

3.3 TOA的边缘PDF

根据公式（9）中的联合PDFpτ',θR(τ',θR)，并对AOAθR进行积分，可以得到TOAτ'的边缘PDFpτ'(τ')，表示如下：

其中，DθR是在给定TOA情况下AOAθR的变化域。由于，并根据公式（5），可得：

显然，公式（16）是关于r的单调递增函数。这意味着对于给定的AOAθR的值，如果散射体位于圆盘模型的圆周上，则TOAτ'取得其最大值，用τ'R(θR) 表示，即：

实际上，对于给定的TOAτ'，和之间的区间给定了AOAθR的变化域DθR。该变化域也确定了公式（15）中的积分限制。

现在，通过公式（18）中给出的积分极限来求解公式（15）中给出的积分之后，TOAτ'的PDFpτ'( )τ'可以通过以下闭式表示：

3.4 AOA的边缘PDF

根据公式（9）中的联合PDFpτ',φR()，并对TOAτ'进行积分，得到AOAθR的边缘PDFpθR(θR)表示如下：

其中，Dτ'是在给定AOAθR情况下TOAτ'的变化域。对于给定的AOAθR的值，由公式（17）看出，TOAτ'从其最小值τ'min变化到τ'R( )θR。因此，通过求解公式（21）中的积分并考虑变化域Dτ'，可以得出均匀分布的AOAθR的PDFpθR(θR)，表示如下：

事实上，也可以直观地期望由于Rx 周围的局部散射体的圆对称分布，AOA应该在水底圆盘UWA信道散射模型中均匀地分布。

此外，为了得到边缘PDFpθR(θR)，可以对公式（1）中的pr,θR(r,θR)的半径r进行积分。这样可以直接得到公式（22）中的结果。

3.5 AOD的边缘PDF

AODθT的边缘PDFpθT(θT)可以通过对公式（13）给出的联合PDFpθT,θR(θT,θR)中的AOAθR进行积分得到。AODθT的边缘PD) 表示如下：

其中，为了上述使表达式简单且仅与θT有关而引入的辅助函数G(θT)的表达式如下：

对于给定的AODθT值，DθR是AOAθR的变化域，通过求解公式（10）中的θR，可以方便地求出该变化域。此外，由于公式（10）中的θT(r,θR)是关于r的单调递增函数，可以将r设为其最大值R。根据上述过程，公式（24）中积分的极限范围从arcsin(ηsinθT)+θT到π-arcsin(ηsinθT)+θT，这也就是变化范围LθR。

3.6 平均时延

通过考虑3.3 节TOA 的PDF 先验结果，可以推导出水底圆盘UWA 信道散射模型的平均时延及其时延扩展。

其中，平均时延由TOAτ'的第一时刻定义，即：

根据公式（19）中的pτ'(τ')，对于所提出的水底圆盘UWA信道散射模型的平均时延，不存在闭式解。因此，可以利用数值积分技术来显示平均时延的特征。

3.7 时延扩展

由上述平均时延以及3.4 节的先验结果，则时延扩展可由TOAτ'的第二中心矩的平方根定义，即：

表1 圆盘UWA信道参数定义及取值

其次，根据公式（19）中的pτ'(τ')，对于所提出的圆盘UWA信道散射模型的时延扩展，不存在闭式的解。因此，再次利用数值积分技术来分析。

3.8 多普勒频率PDF

通过使用在3.4节中求出的AOA的边缘PDF，可以推导出多普勒频率f的PDF。

在3.4 节中，通过两种不同的方法证明了AOAθR遵循公式（22）中的均匀分布。在这种情况下，多普勒频率f的PDFpf(f)可由Jakes分布给出[17]：

4 数值仿真结果与分析

本章是对前面所提出的统计特征的仿真分析。表1给出了该模型在水下传输场景中的信道参数定义及取值，若无特殊说明，则默认为表中的取值。

图3 是根据公式（9），由MATLAB 软件仿真得到参考模型UWA 信号的TOAτ'和AOAθR的联合PDF 图。可以看出，时延基本都分布在较短时间内。此外，还可发现当TOAτ'最小且AOAθR=±π 时，pτ',θR(τ',θR)取得最大值，这是因为UWA沿着视距直达（Line of Sight，LoS）方向从Tx 传播到Rx，且距离圆盘中心越近，散射体密度越大，这与预期结果相符合。

图3 水底圆盘UWA信道模型TOA τ'和AOA θR的联合PDF pτ',θR(τ',θR)

图4 根据公式（13）仿真得到，它给出了θT和的θR的联合PDF图。由图4可知，pθT,θR(θT,θR)在θT=0 且θR也处于零值附近时取得最大值。此外，只有在θT⋅θR≥0时，pθT,θR(θT,θR)才大于零。这是显而易见的，因为通过选择θT和θR的值使得θT⋅θR＜0 时，则不可能在如图1所示的区域中找到散射体。

图4 水底圆盘UWA信道模型AOD θT 和AOA θR的联合PDF pθT,θR(θT,θR)

图5 水底圆盘UWA信道模型的最大TOA τ'R(θR)与AOA θR 的关系

图6给出了TOAτ'在不同的圆盘半径R下对应的边缘PDFpτ'(τ')，其中假设Tx与Rx的距离L依然设为500 m，圆盘半径R分别取25 m、50 m和75 m。可以看出，在给定L值时，圆盘半径R越小，TOAτ'的边缘PDF 越大。对于所有给定的圆盘半径R，TOAτ'的边缘PDFpτ'(τ')在最小传播时延τ'min附近具有高密度，在最大传播时延τ'max( )L+2R附近具有低密度[6]，这符合期望。此外，从图6 可以看出，TOAτ'遵循指数式分布，此分布通常被用在特定的信道模型中[18]，许多测量结果也证实了传播时延的负指数特征[19]。然而，从文献[6]中的图5可以看出，通过使用公式（3）中的联合PDF，TOA 的PDF 不能很好地遵循负指数函数。由此可知，通过极坐标中的联合均匀PDF对局部散射体的分布建模比笛卡尔坐标中的联合均匀PDF更好。

图6 水底圆盘UWA信道模型TOA τ'的边缘PDF pτ'(τ')

图7 给出了不同的η=L/R对应的AODθT的边缘PDF)。可以看出，在原点即θT=0处取得高密度的AOD，而在靠近散射体圆盘的圆周处，即arcsinη-1时取得较低值。考虑到笛卡尔坐标系中局部散射体的非均匀分布，图7所示的数值结果达到了预期结果。此外，还可以观察到AODθT分布在-0.2 rad 到0.2 rad 之间，这是因为在该圆盘模型中，圆盘的半径R以及Tx与Rx之间的距离L是影响AODθT范围的唯一因素，这一独立性仿真结果也与预期结果相符合。

图7 水底圆盘UWA信道模型AOD θT 的边缘PDF pθT(θT)

图8 给出了水底圆盘UWA 信道模型中，对于不同的从Tx 到Rx 的距离L与散射区域的半径R对应的平均时延。可以看出，平均时延随着R和L值的增加而增加。此外，在图8中，通过将从Tx到Rx距离L从400 m增加到500 m然后增加到600 m，平均时延增加恒定的偏移，这是因为距离L增加的从Tx到Rx的传播时延恒定。

图8 圆盘半径R 对应的平均时延

图9 给出了对于不同的从Tx 到Rx 距离L，散射区域的半径R对应的平均时延。可以看出，随着R和L值的增加而增加。需要注意的是，正如图9中标记的三角形所示，受R值的影响比L更大。这一现象是由于R增加25 m与L增加100 m对该模型的影响相同，导致在这两种情况下都增加了0.07 s。

图9 圆盘半径R 对应的延迟扩展

5 结论

本文研究了水下环境中水底平面上几何圆盘UWA信道散射模型中的TOA、AOA和AOD的统计特征。假设水底局部散射体随机分布在以Rx 为中心的圆盘中。本文新颖性在于为了表示局部散射体的分布，本文提出了极坐标中的联合均匀PDF，局部散射体以靠近Rx 的散射体密度更高，远离Rx的密度更低的方式分布，更符合实际的海底散射环境，且简化了计算过程。推导了TOA和AOA以及AOD和AOA的联合PDF的闭式表达式。然后，计算了TOA、AOA 和AOD 的边缘PDF。由仿真结果可知，TOA的PDF遵循负指数式函数分布，与文献中的测量数据相符。此外，根据TOA的PDF，推导了水底几何圆盘UWA信道散射模型的平均时延和时延扩展。数值结果表明，增加恒定的从Tx 到Rx 的距离，平均时延经历恒定的偏移。此外，结果还表明，时延扩展受到Rx周围的散射区域半径的影响比从Tx到Rx距离的影响更大，这都符合预期结果。最后，证实了AOA遵循均匀PDF，这也表示多普勒频率遵循Jakes 分布。本文的分析结论对水下声通信环境的性能评估具有重要意义，拓宽了高效水声信道的研究，为水声通信设计提供了帮助。