基于“数学知识、数学能力与核心素养融合”的2020高考试题研究

连晓颖 吴洪生

摘 要：函数是高中数学的灵魂，是高中数学的一条主线，贯穿整个高中数学教学。函数思想是数学解题的灵魂，深受命题者的亲睐。本文通过对典型试题的分析研究，提出未来复习的建议。

关键词：试题呈现;分析总结;复习建议

中图分类号：G633.6          文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2020）19-022-2

2017年版课标对函数的要求是：“会根据不同的需要选择恰当的方法如图像、列表、解析法表示函数，理解函数图像的作用，了解简单的分段函数;借助图像会用符号语言表达函数的单调性，最大、小值，了解函数奇偶性、周期性及其几何意义。理解幂函数的变化规律，理解指、对数函数，探索并理解指、对数函数的单调性与特殊点，知道指数函数与对数函数是互为反函数。”纵观2020高考数学函数题，不难发现试题既注重考查基础知识、基本技能，也考查考生对函数性质的灵活应用，突出新课标对考生能力的要求。

一、典型试题再现

1.（B，新高考Ⅱ，8）若定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）单调递减，且f（2）=0，则满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是（  ）

A.[-1，1]∪[3，+∞）  B.[-3，-1]∪[0，1]

C.[-1，0]∪[1，+∞）  D.[-1，0]∪[1，3]

分析：本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属于中档题。

解答：因为定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）单调递减，且f（2）=0，所以f（x）在（0，+∞）上也是单调递减，且f（-2）=0，f（0）=0，所以当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）>0，当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）<0，所以由xf（x-1）≥0可得：

x<0-2≤x-1≤0或x<0x-1≥2或x>00≤x-1≤2或x>0x-1≤-2 或x=0

解得-1≤x≤0或1≤x≤3。所以，满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3]。

2.（B，新课标Ⅱ，文12理11）若2x-2y<3-x-3-y，则（  ）

A.ln（y-x+1）>0B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

分析：本题考查对数式的大小判断问题，解决本题的关键是构造函数，利用函数的单调性，属中档题。

解答：2x-2y<3-x-3-y，

设f（x）=2x-3-x，则

f′（x）=2xln2+3-xln3>0，所以函数f（x）在R上单调递增，

因为f（x）1，ln（y-x+1）>0。

3.（C，新课标Ⅰ，理12）若2a+log2a=4b+2log4b，则（  ）

A.a>2b B.a<2bC.a>b2D.a

分析：本题考查构造函数，利用函数的单调性比较大小，属中档题。

解答：由指数与对数运算可得：2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b

又因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b即2a+log2a<22b+log22b，

令f（x）=2x+log2x，由指对函数单调性可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，

由f（a）

4.（B，新课标Ⅲ，文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累积确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）=K1+e-0.23（t-53），其中K为最大确诊病例数。当I（t）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t约为（ln19≈3）（   ）

A.60 B.63C.66 D.69

分析：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属中等题。

解答：由已知有K1+e-0.23（t-53）=0.95K，得e-0.23（t-53）=119，

兩边取对数有-0.23（t-53）=-ln19，

解得t=66。

5.（B，江苏，17）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）。经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN距离h2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式h2=-1800b3+6b，已知点B到OO′的距离40米。

（1）求桥AB的长度;

（2）计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）（k>0），问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？

分析：本题考查实际成本问题，考查分析问题解决问题的能力，属中档题。

解答：（1）过A、B分别作MN的垂线，垂足为A′，B′，则AA′=BB′=-403800+6×40=160，令140a2=160，得a=80，所以AO′=80，AB=AO′+BO′=80+40=120。