基于领航跟随的多机器人系统有限时间一致性控制研究

孙玉娇，杨洪勇，于美妍

(鲁东大学信息与电气工程学院，山东 烟台 264025)

0 引言

现在人工智能受到越来越多的关注，对于多机器人的编队控制逐渐成为研究热点。随着机器人技术的发展，机器人被应用到越来越多的领域，包括家庭、工作和社区等，机器人从各方面改变着我们的生活方式。

作为机器人家族的一种，轮式机器人是机器人运动控制的研究热点之一。从轮式机器人运动控制入手[1]，研究了在理想状态下轮式机器人轨迹跟踪的一般方法，通过仿真验证了运动控制方法可行性。通过对复杂多机器人的运动一致性问题进行研究[2]，设计了一种分布式编队控制协议，实现了多移动机器人的动态编队。当网络出现数据包丢失和加性白噪声等通信问题时，詹习生[3]等人采用频域的方法研究了网络化系统稳定性问题，得到了网络化系统稳定所需信噪比的最小(极限)值。冯磊[4]研究了针对复杂环境下的编队控制算法，并通过仿真进行了验证。根据机器人之间的局部信息交互，易国等[5]提出了领航—跟随编队分布式控制算法。针对非线性系统，采用反步法和一致性理论对领航—跟随编队控制律进行设计[6]。进而研究了多智能体系统编队避障控制算法[7]，并用李雅谱诺夫稳定性定理证明了控制器的稳定性。后来针对基于领航—跟随法的有限时间旋转一致性问题和编队问题进行了研究[8]。刘海涛等[9]研究了具有参数不确定和外界干扰情况下机器人的轨迹跟踪问题，结合Backstepping的反推设计控制器方法，提出了一种有限时间稳定的跟踪控制方法。王芳等[10]证明了通信拓扑为联合连通时提出的二阶多智能体系统有限时间一致性协议的稳定性。对于多机器人系统，需要将问题转换为轨迹追踪问题[11]，采用反步法逐步构造出李雅普诺夫函数，研究线性多智能体系统的有限时间一致性。吴小重等[12]在控制输入受限的多机器人系统模型下，基于有限时间一致性，提出了有限时间编队控制方案。针对收敛速率这一问题设计多机器人系统的一致性算法，应用到多机器人编队控制中，可以提高了收敛速率[13]。蒋国平等[14]讨论了线性多机器人系统收敛时间的问题。王庆领[15]构建了非线性机器人运动系统，研究了饱和受限的非线性多机器人系统的一致性问题。

基于前面研究成果，本文拟研究非完整移动机器人系统的有限时间编队控制问题。本文通过引入虚拟领航者把多机器人系统的编队控制问题转化为路径跟踪问题，构建了具有输入饱和受限约束的多机器人系统的有限时间编队控制协议。

1 预备知识

1.1 基本知识

采用图论知识描述非完整移动机器人间的通信拓扑关系。定义图G=(V(G),E(G))，其中，V(G)={v1,v2,…,vn}为有限节点集，表示机器人。E(G)={e1,e2,…em}为有限边集，由有序对(vi,vj)表示机器人之间的通信连接关系：当且仅当第j个节点能够直接接收第i个节点的消息时，此时，节点vj称作节点vi的父节点，节点vi称作节点vj的子节点。如果(vi,vj)∈E，则称顶点i是顶点j的一个邻居，节点vj的邻居节点集合表示为其父节点的集合，即Nj=(vi∈V|(vj,vi)∈E)。文中，用子图Gs的节点集V(Gs)={v1,v2,…,vn}表示跟随者机器人集合，节点v0表示虚拟领导者机器人。跟随者节点之间，A(Gs)=[aij]∈Rn×n,(j,i∈I,I={1,2,…,n})为加权邻接矩阵，对于任意j,i∈I，ajj=0，aij=aji≥0(i≠j)，当(vj,vi)∉E(Gs)时，aij=0，否则aij=1。在图G中，定义向量B=(b1,b2,…,bn)，当节点v0是节点vj的邻居节点时，bj=1，否则，bj=0。如果任意节点vj(j∈I)与节点v0之间都存在一条路径，节点v0是全局可达的。节点vi与节点vj之间的路径用一系列节点序列(vi,vk1),(vk1,vk2),…,(vkl,vj)表示，且若vj与vi之间有路径存在，则称vj与vi之间是可达的；否则称vj与vi之间是不可达的。

定义1有向图G的拉普拉斯矩阵定义为：

L=D-A

(1)

1.2 相关引理

引理1考虑自治动力学系统，假设存在一个C1上的连续可微函数V(x)定义在原点的领域，且实数c>0，α∈(0,1)，使得：

1)V(x)正定；

引理3对于无向通信拓扑结构图G，L(A)=[lij]∈Rn×n代表该无向图的Laplacian矩阵，有如下性质：

引理4对于无向通信拓扑图G，假如存在一个函数φ:R2→R满足φ(xi,xj)=-φ(xj,xi)，∀i,j∈I，i≠j那么就有一组数列y1,y2,…,yn满足：

(2)

1.3 非完整移动多机器人系统模型

本文的研究对象为非完整约束条件下的轮式机器人，系统由n+1个机器人组成，机器人序列用编号ξ={0,1,2,…,n}来表示，编号0的机器人为虚拟领导者，其余n个为跟随者。vj表示机器人的线速度，机器人的位姿可以表示为P=[xj,yj,θj]，xj、yj表示机器人的位置，θj表示机器人运动的速度向量v和X轴正方向的夹角(X-Y为全局坐标系)，wj是机器人运动的角速度，在驱动轮纯滚动无滑动的情况下，机器人受非完整约束(如图1所示)，机器人j的动力学模型为：

图1 非完整移动机器人图

(3)

定义2非完整移动多机器人系统的跟随机器人j(1≤j≤n)位姿满足式(3)的要求，则系统在有限时间内实现预期编队目标。如果式(4)成立，

(4)

2 多机器人系统编队控制一致性算法

2.1 编队控制问题转换

考虑到多机器人系统的控制输入饱和受限的条件，将机器人的坐标变换进行定义：

(5)

其中1≤j≤n，u1j(t)和u2j(t)为待设计的控制输入，σμ1(u1j(t))和σμ2(u2j(t))为饱和受限下的控制输入。定义σμ:R→R为输入饱和函数，表达式为σμ(x)=sign(x)·min{|x|,μ}，μ>0；定义函数sig(x)α=sign(x)·|x|α，sign(x)为符号函数，α∈(0,1)。

基于以上的设计，多机器人系统的动力学模型可以定义为：

(6)

其中，领航机器人的坐标变换后的状态信息如式(7)：

(7)

对于非完整移动多机器人系统，如果跟随机器人j的各状态量均在有限时间内T∈[0,1)内满足一致性要求，则系统在有限时间内收敛到预期编队目标，即式(8)成立：

(8)

2.2 编队控制一致性分析

将式(5)分解为一个一阶子系统式(9)和一个二阶子系统式(10)，设计有限时间一致性算法达到一致性要求，进而实现编队控制目标。

(9)

(10)

下面将针对子系统设计有限时间一致性协议，并对一致性协议下的稳定性进行分析，证明非完整移动多机器人系统在输入饱和受限的条件下有限时间内能够完成编队控制目标。

定理1对于无向网络中的非完整移动多机器人系统(3)，虚拟领导者是全局可达的，则对于任意初始状态，应用设计的一致性协议，非完整移动多机器人系统能够实现有限时间编队控制目标。

证明：首先对一阶子系统一致性进行证明，考虑到控制输入饱和受限的条件，提出一致性控制算法：

(11)

其中,0<α1<1，Δ1<μ1。

令跟踪误差为：

(12)

将式(11)求导后并将式(10)代入可以得到：

(13)

(14)

再由引理2可以得到：

(15)

根据引理3可以得到：

(16)

由式(14)、(15)可以得到：

(17)

由引理1知，当t≥T(t(0))时一阶子系统可以在有限时间内达到一致性，此时跟随机器人跟踪上领航机器人的运动状态。

(18)

(19)

(20)

其中，k2=2k1。

(21)

(22)

再由引理2可以得到：

(23)

(24)

由引理1可以知道二阶系统在有限时间内达到稳定。

因此，一、二阶子系统均在有限时间内达到一致性，此时跟随机器人均跟踪上领航机器人的运动状态，非完整移动多机器人系统在有限时间完成编队控制目标。

3 仿真分析

本节对本文的理论结果进行仿真验证，分析非完整移动多机器人系统的有限时间编队控制算法的有效性。

3.1 算法参数初始化

设由5个跟随机器人和一个领航机器人组成的非完整移动多机器人系统，用p=(x,y,θ)表示位姿信息，每个机器人的初始信息如表1所示。

表1 系统初始参数设置

将本文所提一致性协议应用于多机器人系统，将协议参数设为α1=0.8，输入饱和参数设为Δ1=1.33，Δ2=8。仿真时间设为30 s，系统中机器人通信拓扑关系对应的A矩阵和B向量分别取为

3.2 多机器人编队

基于以上对机器人的初始参数设置，接下来对非完整移动多机器人系统输入饱和受限条件下有限时间编队控制进行仿真，仿真结果如图2～图4所示。

图2 状态误差z1j-z10变化曲线

图3 状态误差z2j-z20变化曲线

图4 状态误差z3j-z30变化曲线

图2、图3、图4中的蓝、橙、黄、紫、绿线分别表示跟随机器人1-5的状态信息，横坐标表示时间，单位为秒，纵坐标分别表示角度状态误差，单位为弧度，x轴状态误差，单位为米，y轴状态误差，单位为米。从图2～图4可以看出，在一致性控制协议的作用下，随着时间的推移，角度和位移分别在7 s，9 s，8 s的时候收敛到0，这时候表明跟随机器人跟踪上了领航机器人的运动状态。

图5表示机器人形成三角形编队做圆周运动的过程，浅蓝色实线表示虚拟领导者的运动轨迹，编队由开始的正五边形逐渐收敛成期望队形——三角形，并一直重复进行圆周运动。

图5 多机器人系统编队运动轨迹

把本文提出的多机器人编队控制协议与已有成果进行比较。图6和图7是机器人系统形成编队所需的时间，图6是应用已有文献[12]的控制协议得出的结果，大约6.5 s形成编队；图7是应用本文的控制方法得出的结果，大约3.5 s形成编队。由此可以看出本文设计的多机器人有限时间一致性协议，可以更加快速收敛，实现多机器人的运动编队。

图6 位置误差与时间的关系

图7 位置误差与时间的关系

4 结论

本文以多智能体系统为研究背景，以图论为工具，研究了饱和受限多智能体有限时间一致性问题，提出了基于一致性理论的领导—跟随方法编队控制。随着多智能体系统的广泛应用，关于一致性问题的研究进展非常迅速，仍有很多问题值得进一步探讨，例如由于外界环境的干扰和系统模型本身的不确定性对系统稳定性以及控制性能的影响，带有模型不确定性的多智能体系统一致性等。