微课程重构：从三角到相似

徐章韬

摘要：算法化是数学的重要特点之一。从三角函数走向相似，用三角函数作为工具来解析几何，从特殊研究出一般，既有理论上的可行性，也可以为平面几何问题的解决带来很多便利。同时，这种做法体现出计算思维的巨大威力，习得了这种思维，每走一步都是可预见的，学生会平添很多自信，对于发展学生的核心素养是有意义的。

关键词：教育数学 相似 三角函数

相似是平面几何的难点，攻克了相似，其意义不言而喻。秉持计算思维，化推理为计算，寓理于算，可以达到上述目的。教材在处理三角函数和相似的关系时，不甚明朗：有的教材把三角函数安排在相似之后，把三角函数的学习建立在相似比之上;有的教材把三角函数安排在相似之前，作为函数的内容来学习。初中三角函数其实不能称之为三角函数，它只是一种三角比，主要是为了对三角形进行解析。由此来看，把三角函数安排在相似之后，相对合理。但从特殊性与一般性的关系来看，三角函数是直角三角形中的线段之比，相似研究的是一般三角形中的线段之比，一般性寓于特殊性之中，从特殊走向一般，是人的正常思路。因此，从三角函数走向相似，用三角函数作为工具来解析几何，就应当把三角函数编排在相似之前。这样做，既有理论上的可行性，也可以为平面几何问题的解决带来很多便利。

一、三角函数和相似的立论之基

三角函数的意义在于化斜为直。有了正弦、余弦、正切的定义之后，倾斜、水平、垂直这三个方向就可以相互转化了。一般而言，是用垂直来说明前两者，这样，作垂线、构造直角三角形就非常重要了。解决问题时，表面上是相似，其实是在进行代数运算。相似是几何语言，三角函数是代数语言。

三角函数的立论之基是作垂线，构造直角三角形;相似的基础是平行，平行线分线段成比例定理。而平行和垂直是可以相互转化的。比如，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即“若b⊥a，c⊥a，则b∥c”;如果两条平行线中有一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也垂直于第三条直线，即“若a∥b，a⊥c，则b⊥c”。

回到前面例1的做法，即可以考虑在角A两边作比，就有第一种平行线的做法;如果考虑在平角两边作比，就有第二种平行线的作法。

抓住角展开变换，是三角函数的精髓。这种精神可化作上述平面几何的做法。

四、让学生学得容易一些

根据数学史的研究，利用“勾中容横、勾中容方”原理，相似之基是平行线分线段成比例定理，也可以建立在面积之上。而“重构三角，全局皆活”的做法正是建立在面积之上的。从这个意义上说，相似和三角函數是相通的。

让学生学得容易一些，是教育数学的追求。学生在学习相似和三角函数之时，要能融会贯通。上述做法，无须改变现行教材的编排体系，不和常规教学冲突，也不改变平面几何的几何味道，具有可推广性。这体现了教育数学的一贯做法，重构数学，重构教学，一线串通。这种做法还体现了计算思维的巨大威力，习得了这种思维，每走一步都是可预见的，学生会平添很多自信，对于发展学生的核心素养是很有意义的。

教育数学的研究，使我们的教与学更清晰了。

参考文献：

[1] 卢成娴，姜浩哲，汪晓勤.数学史对批判性思维培养的作用——以《三角形一边平行线性质定理及推论》一课为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（4）.

[2] 张景中.三角下放，全局皆活——初中数学结构性改革的一个方案[J].数学通报，2007（1）.