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立足数学课本 根在核心素养

2020-12-17王永军

考试周刊 2020年97期
关键词:高考核心素养

摘 要:高中数学课堂教学应以数学核心素养为导向,立足于课本教材,充分挖掘课本例题、习题资源,培养学生的数学思维能力。注重逻辑推理,有较强的复杂运算能力,发散思维,以期面对新的高考、新的学习。

关键词:数学课本;核心素养;高考

高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质。在学习了等差数列、等比数列的基本知识之后,再次翻开课本前面的内容,充分利用课本资源,适度拓展和延伸,激发学生的学习兴趣。文章先从一道课本例题谈起。

一、 课本例题

【例1】 (课本例3,文[2]第31页):设数列{an}满足a1=1,an=1+1an-1(n>1)。

写出这个数列的前5项。

显然,按照递推公式,这里求解是机械的、容易的。已经学过的等差数列、等比数列的通项公式都可以看作是递推公式,那么例1有没有通项公式?如果有,怎样求解?

二、 不动点

(一)不动点的概念

设函数f(x),若f(α)=α,则称α是f(x)的不动点。

在数列{an}中,若an=f(αn-1)(n>1),α是f(x)的不动点,则称α是{an}的不动点。

(二)不动点与数列通项

关于函数不动点与数列通项公式之间的关联,通过简单的数学变换即可推证。与例1相关的结论表述如下:

设函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R,ac-b≠0)。数列{an},若a1≠f(α1),an=f(αn-1)(n>1),那么:

(1)若f(x)有两个不同的不动点α,β,则有

an+1-αan+1-β=k·an-αan-β,

其中k=a-αa-β ①

(2)若f(x)有唯一一个不动点α,则有

1an+1-α=1an-α+k,

其中k=2a+c ②

(3)若f(x)没有不动点,则数列{an}具有某种周期性。

实际上,上述结论的得到是容易的,可以引导学生示意性的推导,以期提高他们的运算推理能力,培养他们的探索创新能力。其他各种形式的不动点与数列通项公式的关联,无非就是an+1-α与an-α(α为不动点)的各种组合、变形,以期得到熟悉的等差、等比数列,进而求得其通项公式。

其实,(3)若f(x)没有不动点,那它必有两个不同的复数根,这样完全可以归结为(1)。甚至(1)中也可以只选一个不动点,变形处理即可。

三、 例1的通项公式

考虑f(x)=1+1x=x+1x,由f(x)=x得f(x)有两个不同的不动点α=1-52,β=1+52,又a1≠f(α1),an=f(αn-1)(n>1)。

(一)用两个不动点

比照①式,

k=1-1-521-1+52=-3+52,

从而

an+1-1-52an+1-1+52=-3+52·an-1-52an-1+52,

这是一个新的等比数列,其中首项a1-1-52a1-1+52=1-1-521-1+52=-3+52,

于是

an-1-52an-1+52=-3+52·(-3+52)n-1,

解之

an=12·(1-5)n+1-(1+5)n+1(1-5)n-(1+5)n ③

(二)用一個不动点

现在选用一个不动点,作差处理。取α=1-52,

由an+1-1-52=an+1an-1-52=1+52·an-1-52an,

取倒数

1an+1-1-52=an1+52·an-1-52=5-32·1an-1-52+5-12。

这里涉及另一种类型的不动点,即f(x)=dx+e(d≠0,1),f(x)有不动点δ,则对应数列{bn}(bn=f(bn-1)(n>1)),有bn+1-δ=d(bn-δ),从而出现一个新的等比数列。

我们接着处理例1,有

1an+1-1-52-55=5-32·1an-1-52-55。

这里构造了一个新的等比数列,类似于3.1后半段,可以解出

an=1-52+5·22n22n+(-1)n-1·(1-5)2n ④

四、 例1的变式

【例2】 设数列{an}满足a1=2,an=2-1an-1(n>1)。

求数列{an}的通项公式。

考虑f(x)=2-1x=x,得数列{an}有唯一一个不动点1,比照②式即可求出an=1+1n。

【例3】 (课本习题2.1A组4(2),文[2]第33页):写出数列{an}的前5项:a1=-14,an=1-1an-1(n>1)。

这个数列没有不动点(方程f(x)=1-1x=x无实数根),事实上由简单计算,a1=a4=-14,它具有周期性。

为了激发学生的兴趣,拓展学生的视野,可以对例1继续变式:写出数列{an}的前5项:a1=1,an=3an-1-7an-1-3(n>1)。易见数列{an}有两个不同的不动点,故可比照①式写出它的通项公式;很明显它还具有周期性(a1=a3=1)。

五、 教学启示

(一)用好课本,注重通解通法

用不动点处理数列的通项公式,课本中虽未提及,但它具有通解通法性,而且学生完全可以套搬套用。适当运用不动点,可以避免解题的盲目性、增强解题的方向感。有利于激发学生学习数学的兴趣,提高教师教学的实效性。技高不压人,常常会有意外的惊喜。

【例4】 (2019年高考浙江卷第10题):设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=a2n+b,n∈N*。则()

A. 当b=12时,a10>10

B. 当b=14时,a10>10

C. 当b=-2时,a10>10

D. 当b=-4时,a10>10

这是选择题的最后一题,应该算是压轴题。对于A选项,用估算、迭代的办法可以证明其真实性;本题如果从不动点的角度来考虑,它就变成了口算题!

考虑x=x2+b求出不动点,对于A选项,没有不动点;对于B选项,取不动点12,令a=12,則an=12<10;对于C选项,取不动点-1,令a=-1,则an=-1<10;对于D选项,取不动点1-172,令a=1-172,则an=1-172<10。

(二)适度拓展,关注后继学习

立根数学核心素养,应该充分利用好课本材料。课本在例1之后,给出了《阅读与思考》(文[2]第32页),介绍了历史上著名的Fibonacci数列{Fn}:

F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2)

细心的学生会发现,例1的各项明显具有数列{Fn}的影子!事实上数列{Fn}亦有“不动点”1±52(其实是特征方程特征根,这里借用“不动点”名称),类似方法可以得到Fn=(1+5)n-(1-5)n5·2n,这是用无理数表示有理数的经典案例。这与例1的两个通项公式③、④何其相像。

如果沿着这个阅读材料继续走下去,美丽而神奇的数学大门会越开越大。比如limn→∞FnFn+1=5-12(黄金分割比)。

适度拓展,适时引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。有时一个小小的变式,毫厘之差,但却相差万里。比如数列{an}:an+1=2a2n-1,

若a1=13,则an=cos2n-1θ,(cosθ=13);

若a1=3,则an=(3-22)2n-1+(3+22)2n-12。

关注学生的后继学习与发展,努力提升学生的数学思维、运算求解能力,培养他们良好的数学兴趣。立足课本,充分挖掘课本例题习题、阅读探究材料,有的放矢地进行课堂教学。数学的有趣,也许即在于此。

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018:2-3.

[2]人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书数学5必修(A版)[M].北京:人民教育出版社,2007:31-33.

[3]伍胜健.数学分析(第一册)[M].北京:北京大学出版社,2009:28.

作者简介:

王永军,重庆市,重庆市广益中学校。

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