求双曲线离心率的几种方法

◇ 河南 张振继(特级教师)

1 从离心率的定义出发考虑

已知双曲线的焦距及实轴的长分别为2c,2a,则其离心率.

例1已知双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作圆x2＋y2＝a2的切线,切点为E,交双曲线右支于点P,若则双曲线C的离心率为_______.

解析

点评

本题通过题设条件求出a,c的值,然后再利用离心率的定义求得离心率.

2 从双曲线渐近线的斜率出发考虑

中心在原点O,焦点在x轴上的双曲线渐近线的斜率为k,则离心率.

中心在原点O,焦点在y轴上的双曲线渐近线的斜率为k,则离心率.

例2(1)已知抛物线x2＝－4by的准线与双曲线的左、右支分别相交于B,C两点,A为双曲线的右顶点,O为坐标原点,若∠BOC＝4∠AOC,则双曲线的离心率为________.

A.(1,2] B.(1,2)

C.[2,＋∞) D.(2,＋∞)

解析

(1)抛物线的准线方程为y＝b,与双曲线方程联立,可得由∠BOC＝4∠AOC,可得所 以 ∠AOC＝30°,所以

3 从双曲线的渐近线与实轴的夹角考虑

已知双曲线的渐近线与实轴的夹角为α,则其离心率.

例3(1)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(－c,0),F2(c,0),圆x2＋y2＝c2与双曲线一条渐近线交于点A,若直线AF1与另一条渐近线的交点B恰好是AF1的中点,则双曲线的离心率为( ).

解析

(1)由题设,得F1A⊥AF2,B,O是分别是AF1,F1F2的中点,所以OB⊥AF1,故∠BOF1＝ ∠AOB.又 ∠AOF2＝ ∠BOF1,所 以∠AOF2＝60°,离心率故选B.

(2)由题设|F1F2|＝2c,∠F1AF2＝90°,∠AF2F1＝30°,所以 ∠AF1F2＝60°,而|OF1|＝|OA|,所以△AF1O为等边三角形,所以∠AOF1＝60°,即其中一条渐近线的倾斜角为60°,故e＝所以选A.

4 构建离心率e的方程

例4(1)(2019年全国卷Ⅱ文12)设F是双曲线的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2相交于P,Q两点,若|PQ|＝|OF|,则双曲线C的离心率为( ).

解析

(1)以OF为直径的圆的方程为两式相减得所以

即e4－4e2＋4＝0,解得e2＝2,所以,故选C.

(2)设△F2AB边长为t,由双曲线的定义,得|BF1|－|BF2|＝2a,则|BF1|＝2a＋t,所以|AF1|＝2a.

又|AF2|－|AF1|＝2a,所以|AF2|＝4a,在△AF1F2中,∠F1AF2＝120°,|F1F2|＝2c,由余弦定理,得(2c)2＝(2a)2＋(4a)2－2×2a·4acos120°,解得,即双曲线的离心率为7,故选D.

5 构建离心率e的不等式

例5已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|＝4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为( ).

方法1利用|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|构造不等式.由双曲线定义,得|PF1|－|PF2|＝2a,又|PF1|＝4|PF2|,解得又.

方法2利用右支上的点的焦半径大于等于ca构造不等式.设右顶点为A,则|PF2|≥|F2A|,即.

方法3利用右支上的点的横坐标大于或等于a构造不等式.设P(x,y),则所以解得.

6 构建离心率e的函数

例6已知双曲线右支上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,AF⊥FB,∠ABF＝α,且则双曲线C的离心率e的取值范围是________.

解析

设双曲线的左焦点为F′,连接AF′,BF′,则四边形AF′BF为矩形,故|AB|＝|F′F|＝2c.在 Rt△ABF中,|AF|＝2csinα,|BF|＝2ccosα.由双曲线的定义,得