先猜后证,天衣无缝———2020年高考北京卷圆锥曲线试题的解析与反思

◇ 北京 朱祥翠 王芝平(特级教师)

美籍数学家波利亚说:“先猜后证——这是大多数的发现之道!”猜,即猜想,是合情推理;证,即证明,是演绎推理.“先猜后证”就是先用合情推理的方法得到一个似真的结果,再用演绎推理证明这个结论的正确性.先猜后证是直觉思维与逻辑思维天衣无缝的对接,是结论从发现到证明的完美过程,猜想与证明相辅相成、相得益彰.借助这种方法,很多较难的高考压轴题也可得到突破和圆满解决.本文以2020年高考北京卷试题为例,说明先猜后证在圆锥曲线探究性问题中的应用,供读者参考.

试题再现(2020年北京卷20)已知椭圆C:过点A(－2,－1),且a＝2b.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x＝－4于点P,Q,求的值.

1 思路分析

图1

事实上,可通过特殊情形推测一般情形.比如当直线l与x轴重合时,直线l与x轴分别交于椭圆的左、右顶点,此时即P(－4,),同理有这样就将求值的问题转化为证明|PB|＝|BQ|,即yP＝－yQ,即yP＋yQ＝0,即问题也能得以简化.当然直线l方程形式的不同选择,对具体运算的繁简程度还是有影响的,这需要考生在解题实践中不断积累经验.

2 规范解答

(1)椭圆C的方程为(求解过程略).

(2)方法1由题意可得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝k(x＋4),由消去y,整理得

方法2当直线l与x轴重合时,直线l与x轴分别交于椭圆的左、右顶点,由思路分析可知,|PB|＝|BQ|;当直线l与x轴不重合时,设其方程为x＝ty－4.

直线AM的方程为令x＝－4,得.

所以|yP|－|yQ|＝0,即|PB|＝|BQ|.

3 解后反思

“预见结论,途径便可以有的放矢.”此题我们通过特殊情形猜想出结论,再证明一般情形下也有同样的结论.这种“先猜后证”的思路为证明指出了明确的方向,进而有效地降低了难度.

解析几何中的三大难点是“想不到”“算不出”“消不掉”,尤其是考生在面对“定点”“定值”等探究性问题时,由于结论(结果)的隐蔽性比较强,使得问题具有探索性和开放性.此类探究性问题最能考查考生的探索能力和创新意识,能有效甄别不同思维层次的考生,因此此类问题在历年高考题中屡见不鲜.希望同学们能从本题的分析与解答过程中提炼出解决圆锥曲线探究性问题的一般方法,积累解题经验.