基于弗赖登塔尔教育思想的“任意角三角的函数”教学设计

丛彦明 马晓慧

数学来源于生活，最终也要为生活所用，所以教师要善于将数学知识与生活实际相联系，引导学生在合适的教学情境中思考、探究，以形成数学知识框架。教师需要为学生提供应用知识的途径，让学生运用数学语言表达出整个信息加工的过程。

如三角函数的知识点多且关联性较强，与任意角的三角函数概念相关联的，有任意角、诱导公式、三角函数图像与性质等。当下，学生已掌握锐角三角函数，但当角的范围扩大到任意角时，学生经常把任意角的三角函数看作是锐角三角函数的一般化形式，不能很好地从函数角度分析和解决问题。下面，笔者以弗赖登塔尔的教育思想为理论基础，重新思考任意角的三角函数教学设计，突出逻辑性和思维性，优化教学过程。

一、教学目标

第一，知识与技能目标是掌握任意角的三角函数的概念及其蕴含的函数思想。

第二，过程与方法目标是从数学现实出发，借助单位圆与角的终边的交点坐标关系，探究概念及其性质。

第三，情感态度与价值观目标是体会数形结合的思想，引导学生参与知识生成过程。

二、教学重点和难点

教学重点是理解并掌握定义、求三角函数值 。教学难点是理解任意角的三角函数概念及其性质。

三、教学过程

教师提问：“求30度和60度的三角函数值。”学生主动回答后，教师再提问：“你们是怎么求得这些值的？那么sinα，cosα，tanα怎么求？”

设计意图：从学生已有的数学现实来创设问题情境，让学生在头脑中将新问题与原有的认知结构建立联系，从而减少了数学的抽象性，提高了课堂教學效率。

问题1：从名称上看，锐角和任意角的区别在角的范围，说一说任意角是什么？

问题2：结合任意角特有的性质，给任意角的三角函数下定义。

问题3：如图1所示，设单位圆与角的终边相交于上点P（x，y），过点P作x轴的垂线交x轴于点M，那么sinα，cosα，tanα怎么求？

问题4：如图2所示，改变点P的位置，三角函数会发生什么变化？

问题5：如图3所示，当|OP|=1时，此时三角函数会发生什么变化？

问题6：比较两组公式，有什么发现？

问题7：三角函数起源于古人对天体运动的研究，是一种周期性函数。哪组公式可以反映任意角的三角函数概念的本质？

通过分析，可得任意角的三角函数定义为：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：①y叫作α的正弦，记作sinα，即sinα=y;②x叫作α的余弦，记作cosα，即cosα=x;③比值叫作α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）。

问题8：从这三个表达式中，是否能找出其蕴含的函数关系？

设计意图：学生从数学情境出发，寻求任意角的三角函数的定义。运用数形结合的思想方法，通过类比确定任意角的三角函数的概念，此过程即为数学化。

课堂练习：书上例1、例2。

设计意图：通过习题训练达到数学应用知识的目的，即再创造，这有助于巩固和深化学生对概念的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力，做到学以致用。

在这个过程中，教师可以提问：“谈一谈，你收获了什么，还有哪些困惑？”学生回答后，再由教师进行整理。

设计意图：以问题的形式让学生归纳所学，及时构建知识网络，优化了学生的知识结构。

（作者单位：贵州师范大学）