高考平衡问题常见题型分类及求解策略

田长军

平衡问题是高考物理每年必考的知识点，要求考生只研究共点力作用下物体的平衡问题. 笔者对多年的高考真题进行了研究，总结了高考中常见的几类题型，并给出了求解方法，希望对学生备考提供帮助.

1. 一般平衡问题.

【例1】（2020年全国卷Ⅲ）如图1所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连. 甲、乙两物体质量相等. 系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β. 若α=70°，则β等于（ ）

A. 45° B. 55° C. 60° D. 70°

解析：甲物体是拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则甲、乙绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳子拉力的方向在甲、乙绳子的角平分线上，如图2所示，

根据几何关系有180°=2β+α，解得β=55°，故选B.

求解策略：三力平衡问题中，任意两个力的合力与第三个力等大反向，且正好组成一个三角形，这种问题最终是将力学平衡问题转化为几何问题来解决.

2. 动态平衡问题.

【例2】（2019年全国卷Ⅰ）如图3所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮. 一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态. 现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°. 已知M始终保持静止，则在此过程中（ ）

A. 水平拉力的大小可能保持不变

B. M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C. M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D. M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

解析：对N受力分析可知，物体在重力、水平拉力F和细绳的拉力FT三个力的作用下处于平衡状态，做出三个力的矢量三角形，如图4所示. FT与竖直方向的夹角逐渐增大的过程中，水平拉力F的大小逐渐增大，细绳的拉力FT也一直增大，选项A错误，B正确;

M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，由分析可知FTmin=mN g，故若mN g≥mM gsin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mN g

求解策略：本题是三力动态平衡问题，也是高考中最常见的动态平衡问题. 三力动态平衡问题常见解法有：

（1）三角形图解法：适用于物体所受的三个力中，有一力的大小和方向均不变，另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题. 这类问题先将三个力平移，首尾相连构成闭合三角形，然后观察哪些力变化，哪些力不变，将方向不变的力延长，将方向变化的力按题目要求进行旋转，变化过程中物体一直处于平衡状态，三角形总是存在，只是形状发生了改变，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就非常明显了.

（2）相似三角形法：适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题. 这类问题先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成封闭三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论.

（3）作辅助圆法：适用的问题是物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°的情况. 这類问题先对物体受力分析，画出力的示意图，将三个力的矢量首尾相连构成封闭三角形，然后根据力的变化情况具体分析即可看出力的变化规律.

（4）解析法：适用的类型较为广泛. 先对物体受力分析，画力的示意图，根据平衡条件列方程，物理量的变化规律在方程中即可发现. 有的题目还需要根据函数的单调性等数学方法求解某一区间内的最值后才能讨论其变化规律.

3. 连接体中的平衡问题.

【例3】（2020年山东卷）如图5所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行. A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（ ）

A. B. C. D.

解析：（解法一：隔离法）当木板与水平面的夹角为45°时，两物块刚好滑动，对A物块受力分析如图6，沿斜面方向，A、B之间的滑动摩擦力f1= N= mgcos45°①，根据平衡条件可知T=mgsin45°+ mgcos45°②，对B物块受力分析如图7，沿斜面方向，B与斜面之间的滑动摩擦力f2= N′= ·3mgcos45°③，根据平衡条件可知2mgsin45°=T+ mgcos45°+ ·3mgcos45°④，联立②④式可得 = ，C正确.

（解法二：整体-隔离法）对A受力分析，由平衡条件知T=mgsin45°+ mgcos45°，对AB整体受力分析，由平衡条件知2T+3 mgcos45°=3mgsin45°，联立以上两式可得 = .

求解策略：在连接体问题中，一般都是两个及以上的物体发生相互作用，无论系统中的物体处于静止状态还是匀速直线运动状态，加速度都为零. 可将系统中的多个物体看作一个整体，捆绑在一起受力分析，即整体法.也可以将某个物体单独分离出来受力分析，即隔离法. 用整体法和隔离法，再根据平衡条件列方程求解.

4. 复合场中的平衡问题

【例4】（2017年全国卷Ⅰ）如图8所示，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动. 下列选项正确的是（   ）

A. ma>mb>mc B. mb>ma>mc

C. mc>ma>mb D. mc>mb>ma

解析：设三个微粒的电荷量均为q，a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，得ma g=qE;b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，得mbg=qE+qvB;c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，得mc g+qvB=qE. 三式比较即得mb>ma>mc，故选项B正确，A、C、D错误.

求解策略：带电粒子以某一速度垂直进入磁场时，会受到洛伦兹力的作用，进入电场时，会受到电场力的作用. 若带电粒子在电场、磁场和重力场三个场的叠加场中处于平衡状态，对粒子受力分析，列方程求解. 不过在分析的过程中需要注意两个问题，一是若粒子处于静止状态，则不受洛伦兹力的作用. 二是注意各力的空间方向，电场力、洛伦兹力、重力和其他力不一定在同一平面内.

5. 电磁感应中的平衡问题.

【例5】（2015年海南卷）如图9所示，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距l，左端与一电阻R相连;整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下. 一质量为m的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨以速度v匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好. 已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略. 求：

（1）电阻R消耗的功率;

（2）水平外力的大小.

解析：（1）导体切割磁感线运动产生的电动势为E=Blv，

根据欧姆定律，闭合回路中的感应电流为I= ，

电阻R消耗的功率为P=I2R，联立可得P= .

（2）对导体棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力，向右的外力，三力平衡，故有F安+ mg=F，F安=BIl=B· ·l，故F= + mg.

求解策略：导体棒在磁场中切割磁感线运动时，导体棒相当于电源，若回路闭合，回路中会有感应电流，这时导体棒也相当于通电导体在磁场中切割磁感线运动，会受到安倍力的作用.若导体棒处于匀速直线运动状态，通过受力分析，列平衡方程求解. 但需要特别注意的是，若磁场方向与导体棒和导轨所在的平面不垂直，安倍力的方向就与导体棒运动速度方向不在一条直线上，需要对安培力进行分解，用正交分解法解决.

6. 平衡中的临界与极值问题.

【例6】（2013年全国卷Ⅱ）如图10所示，在固定斜面上的一物块受到一外力的作用，F平行于斜面上. 若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2>0）. 由此可求出（ ）

A. 物块的质量

B. 斜面的倾角

C. 物块与斜面间的最大静摩擦力

D. 物块对斜面的正压力

解析：设滑块受到的最大静摩擦力为f，对滑块受力分析，当静摩擦力平行斜面向下时，拉力最大，有F1-mgsin -f=0;当静摩擦力平行斜面向上时，拉力最小，有：F2-mgsin +f=0，联立解得：f= ，故C正确;mgsin = ，因质量和倾角均未知，故A错误，B错误;物块对斜面的正压力为：N=mgcosθ，未知，故D错误;故选C.

求解策略：处理临界与极值问题一般有三种方法.（1）解析法：根据物体的平衡条件列出平衡方程，用数学方法求极值，例如导数、函数的单调性、配方、均值不等式等.（2）图解法：在三个力作用下的平衡问题中，可根据图解法，用矢量三角形求解最值（点到直线的距离，垂线段最短）.（3）极限法：极限法是一种处理极值问题最有效的方法之一，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端（如“极大”“极小”等），从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，快速求解.

7. 平衡中的STSE问题.

【例7】（2012年全国卷Ⅱ）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图11甲）. 设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.

（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ. 已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动. 求这一临界角的正切tanθ0.

解析：（1）設沿拖杆方向用大小为F的力推拖把，地板对拖把的支持力为N，摩擦力为f，建立坐标系，受力分析，如图11（乙）所示. 利用正交分解法，将推拖把的力沿竖直和水平分解，由平衡条件有

Fcos +mg = N ……①

Fsin  = f ……②

f =  N ……③

联立①②③式得F= mg ……④

（2）若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应用

fsin ≤ N ……⑤

这时，①式仍满足，联立①⑤式得

sin - cos ≤  ……⑥

上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有

sin - cos ≤0 ……⑦

使上式成立的角满足θ≤θ0，这里是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把. 临界角的正切值为tanθ0= .

求解策略：高考物理中，涉及科学、技术、社会、环境等STSE问题的新情景类试题越来越多，选材灵活，立意新颖，要求学生从日常生活中提炼出物理模型，再将物理模型转化成数学公式求解. 物体受到三个或三个以上共点力的作用而处于平衡状态时，通过建立平面直角坐标系将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件，即正交分解法. 本题中，拖把头受四个力，用正交分解法解决较为简便.

责任编辑 李平安