多元联结：让数学理解真正发生

李毅

【摘要】数学的学科特点决定了数学教学要让学生在“关联”中学习，要以合适的方式，在数学学习过程的各要素之间创建“联结”，促使学生对数学知识、数学本质准确建构心理意义，形成良好认知结构，实现对知识的深度理解。本文通过对几个教学片段的赏析，试图提出创建“学习联结”的多元方式：“冲突”联结、“溯源”联结、“迁移”联结。

【关键词】多元联结 数学理解 数学本质

数学学科知识是以一定的方式进行联结，以一定的逻辑关系组成的一个有机整体。这一特点决定了数学教学要让学生在“关联”中学习，要以合适的方式，在数学学习过程的各要素之间创建“多元联结”，促使学生对数学知识、数学本质准确建构心理意义，形成良好的认知结构，实现对学科知识的深度理解。

一、“冲突”联结：借助显性理解隐性

“数学是关于模式的科学”，抽象是数学最本质的特征，直观的图形、数据等载体背后往往隐藏着抽象的特征、规律，有些数学知识本身的含义更是内隐，难以理解。隐性的数学知识，如何才能让它直观地显化？

案例：平均数的虚拟性

情境：2分钟投篮比赛

借助小丁丁，明确了通过“比平均数”判断投篮水平高低后，教师分三个层次引导学生找4个同学五轮投篮个数的平均数，在找的过程中探索平均数的求法，同时体验平均数的重要特性——虚拟性。

1.特殊数列，发现“移多补少”

师：小胖投篮的平均数是多少？小亚呢？

生：小胖每轮都是5个，所以平均每轮投中5个;而小亚投篮的个数是连续自然数，在直观统计图的“刺激”下，学生想到了 “移多补少”的方法，并在课件中的统计图上动手操作验证。

2.制造冲突，引出“求和平均”

教师趁热打铁：小巧投篮的平均数是多少？学生争着要在电脑上移多补少，几次下来，却发现居然“平均不了”！高涨的热情顿时被浇了冷水，但同时更激起学生的思考欲望，稍加思索，学生便提出了“求和平分”的计算方法。借助计算器，出乎意料地得到了小数结果：（8+8+4+7+5）÷5=6.4（个）。

3.再设冲突，体验“虚拟性”

师：6.4个，是实实在在投进的个数吗？

生1：不是投进的个数，投篮个数没有小数的。

生2：投篮个数不可能是半个的。

师：是啊，实际根本投不出6.4个，那6.4个到底是什么意思？

生1：6.4个是把5轮投的个数匀的一样多的个数。

生2：6.4个就是5轮投的个数的平均数，不是真实投的个数。

生3：它表示的是这几次投篮平均后的个数，不是哪一次投的个数。

师（总结）：平均数是一个虚拟的统计量。

师：小亚第三轮投的6个和平均数6个意思一样吗？

……

这段精彩的教学是顾亚龙老师执教《平均数》一课时呈现的一个片段。顾老师的教学，创造性地给了学生“小数”这一直观化的“思维拐杖”，“真实的个数”与“虚拟的个数”就此自然联结，“6.4个是实实在在投进的个数吗？6.4个到底是什么意思？”精准的两次导疑，让学生借助“小数”深刻体会到了平均数的虚拟性，真正理解了平均数的含义。

给隐性的知识以恰当的方式找寻显性的“拐杖”，借助显性联结隐性，使内隐的知识直观外显，理解自然发生。

二、“溯源”联结：借助学具理解工具

小学阶段的数学学习中，学生需要掌握一些数学工具的使用，例如，直尺、量角器、圆规。那么，学生对这些工具的学习，是否仅需停留在操作使用技能的熟练程度上？会使用工具，是否就说明学生完全理解了操作的过程？ 我们怎样才能给学生一种完整、丰富、透彻的工具学习经历？

案例：圆规画圆

1.画圆的本质

师：刚才我们一起认识了圆一中同长的独一无二的本质特征，你会画一个圆吗？

师：你能想到哪些画圆的方法？（课件播放钉绳画圆动画）画圆时怎样保证画得圆？（一中，同长——绳长不变）

2.学具的缺陷

师（硬币画圆）：老师这儿有两支铅笔、一枚硬币，谁能来画一画？

师：用硬币画圆有什么缺点？（画不出大小不同的圆）

师（两支铅笔）：若只用这两支铅笔，能画一个圆吗？（实物投影展示）

师：这样画圆有一个优点，就是可以画出大小不同的圆。

师：你想不想来试试？看谁画得又快又好。

师：用两支铅笔画圆有什么感受？要注意什么？

师（小结）：要做到“一中”，这第一支铅笔能不能移动位置？要做到“同长”，这两支铅笔的间距能不能改变？

3.工具的产生

师：聪明的人类，为了做到以上两点，用针代替了这第一支铅笔，便于固定位置，又用特殊的机械装置，使这两支笔既能自由调整间距又相对固定，这就是现在人们常用的专业的画圆工具：圆规。

4.圆规的使用

师：拿出信封中的圆规，请你画一个圆。 感觉怎么样？用圆规画圆既方便，又可以画出大小不同的圆。

圆规画圆的教学，我们往往偏重于使用技巧的教学：如何捏、如何旋转才能画得更好，很少去思考圆规这个工具背后所关联的知识本质、发明创造的由来以及承载的精神文化。上述的片段，深刻追溯圆规的构造原理，利用简易学具巧妙联结专业工具，使学生对工具的认识也能“知其然，也知其所以然”：首先借助钉绳画圆说明画圆的本质就是圆的特征“一中同长”;接着设计了硬币画圆和两支铅笔画圆两次画圆活动，这两件自制学具用来画圆，存在着各自的缺陷：不能画大小不同的圆，难以保持两脚间的距离不变，在学生体会到了学具的缺陷后，再引出专业画圆工具——圆规，对比之下，学生对圆规的构造原理不言自明，理解清晰;而经历了学具到工具的改进过程，也能让学生感受到前人的智慧和不断追求发展的数学精神。

对已然定型固化的工具，溯其构造根源，创造恰当的原型学具，借助学具联结工具，使工具“活化”，理解自然发生。

三、“迁移”联结：借助已知理解未知

數学知识是前后关联、逻辑严密的一个系统整体，数学学习是循序渐进、螺旋上升的过程。对学生的学习而言，“未知”都可由相关联的“已知”发展而来。如何才能找准已知和未知的结合点，并构造恰当的学习材料，引导学生进行有效的迁移学习，从而构建良好的认知结构？

案例：分数单位

1.已知：自然数的计数单位

师：一个长方形用自然数1表示，那么两个长方形是几（图1）？为什么？

生：是2，因为它由2个一组成的。

师（出示图2）：现在是几了？为什么？

生：是5，它由5个一组成。

师：是啊，一是自然数的计数单位，有几个一组成的数就是几。除了一，我们还学过其他的计数单位吗？

2.迁移：分数的计数单位

师：现在图3中的阴影部分该用哪个数表示？为什么？

分数单位是紧跟分数的意义之后一个“浅显易懂”的概念，但分数单位的数学意义仅仅是“分子是1的分数”吗？学生对这个概念的理解还有什么缺失吗？上述的教学片段给我们以新的教学视角：分数单位的本质是一种计数单位，以计数单位为上位概念联结分数单位，实现学生认数系统的拓展。上述片段中首先借助直观图激活学生关于自然数计数单位的经验，然后顺势将“1”平均分，得到分数，以“它能像自然数一样数出来吗？用多少来数？”启发学生将自然数的计数经验迁移类推到分数中来，在多次的“数一数”的过程中，学生真切体验到了几分之一这类分数的特殊性——它们是组成分数的基本单位。最后通过求同比较“它们有什么共同点？”，分数单位的概念就水到渠成了。由已知的“计数单位”生长出未知的“分数单位”，学生获得的就不仅仅是一个孤立的知识点，而是形成了一个良好的认知结构，真正理解了概念的本质。

抓住数学知识的核心本质，依据学生的思维特点和认知水平，借助已知联结未知，合理构建已知到未知的变化序列，理解自然发生。