套管柱-钻井液-水泥浆耦合系统横向振动特性分析

2020-12-04陶向前

科学技术与工程 2020年30期

于洋，李博，林彬，陶向前

(西安科技大学机械工程学院，西安 710054)

振动固井技术是提高固井质量的重要技术之一[1]，现有的振动波产生方式包括机械振动、水力冲击和液压脉冲等[2-4]。目前，使用较多的机械式振动固井装置是将激振装置安装在套管柱底部，通过改变激振力的大小和激振频率等来控制套管柱的振动[5]。在振动固井过程中，套管柱作为振动对象，对其横向振动固有频率的研究是改变激振参数的重要依据。现有的研究针对套管柱系统模型的建立未考虑钻井液和水泥浆等因素，忽略了管内外流体对系统的影响[6]；在建立流固耦合模型时，将水泥浆、钻井液等效成具有一定弹性模量和泊松比的固体，忽略了流固耦合及其交界面的设置[7-8]；采用Hamilton 变分原理对水平井进行研究，建立耦合振动方程，未考虑钻井液对系统的影响[9]。另外，在深井高温下，套管柱的材料性质会发生变化[10]，而目前的研究中尚未考虑温度对套管柱固有频率的影响。

针对套管柱-钻井液-水泥浆耦合系统的横向振动固有频率及其振动特性进行研究，首先建立耦合系统的振动模型，在理论计算中求得影响耦合系统横向振动固有频率的因素，并进行仿真分析，得到耦合系统固有频率随套管长度、钻井液密度、水泥浆密度等影响因素变化的关系；通过仿真分析得到在无耦合状态和流固耦合状态下套管柱的各阶模态频率及模态振型；通过理论推导和MATLAB计算得到温度对其产生的影响；在不同的激振力下对其进行动态响应分析，得到系统的共振频率。通过研究套管柱-钻井液-水泥浆耦合系统的振动特性，以期对振动固井工程的实施提供参考。

1 流固耦合系统模型的建立

如图1所示，在固井过程中，套管柱、水泥浆和钻井液构成了流固耦合系统。钻井液沿着x轴正向流动，水泥浆在环空内沿x轴负向流动，仅考虑y轴方向的横向振动。根据牛顿力学建立振动控制方程时，要遵循套管柱不与井壁接触，且其在所有情况下都服从胡克定律的假设。受力分析模型取套管柱微段dx，其受力示意图如图2所示。套管柱可被看成欧拉-伯努利梁。

图1 套管柱-水泥浆-钻井液系统示意图Fig.1 Schematic diagram of casing string-cement slurry-drilling fluid system

图2 套管柱微段受力示意图Fig.2 Schematic diagram of the force of the casing section

套管柱材料弹性模量为E，密度为ρ，设定其长为l；在x处的横截面积为A，截面关于中性轴的惯性矩为I；水泥浆对套管柱横向振动的黏滞阻力为Fn；套管柱在y方向产生的惯性力为Ft；套管内钻井液引起的惯性力为Fz；上端面剪力为Fs；上端面轴向力为F0；上端面弯矩M；水泥浆阻尼力对中性轴的弯矩为Md；K为浮力系数。

对微段dx水平方向列平衡方程如下。

力平衡方程：

(1)

力矩平衡方程：

(2)

分析微段dx受力可知，水泥浆对套管柱横向振动的黏滞阻力为

(3)

套管柱在y方向产生的惯性力为

(4)

套管内钻井液引起的惯性力为

(5)

上端面弯矩为

(6)

水泥浆阻尼力对中性轴的弯矩为

(7)

将式(3)～式(7)代入式(1)、式(2)中，因阻尼较小可忽略阻尼的影响，得到管柱的横向振动微分方程为[11]

(8)

在该系统中横向固有振动为[12]

y(x,t)=Y(x)T(t)

(9)

式(9)中：Y(x)为梁截面中性轴在x处的横向振动幅值函数；T(t)为描述运动规律的时间函数。

则有：

(10)

式(10)中：ω为系统的固有频率；c1、c2、c3、c4、b1、b2为微分方程通解系数。

(11)

其余各参数由梁的两端满足的边界条件和梁的初始条件来确定。

悬臂梁在x=0端固支，x=l端自由，其边界条件如下。

(2)自由边界条件：在自由端上弯矩和剪力为零，故有Y″(l)=0，Y‴(l)=0。

求解得其固有频率方程为

ch(λl)cos(λl)=-1

(12)

式(12)的根可由MATLAB求解，λnl值由小到大依次为1.875 1,4.694 1,7.854 8,10.995 5,14.137 2,…(n=1,2,…)。

套管柱横向振动固有频率为

(13)

由式(13)可知，影响套管柱系统横向振动固有频率的主要因素有：①套管外水泥浆密度；②套管内钻井液密度；③井眼直径；④套管柱的弹性模量；⑤套管柱的内外径及长度等。

2 流固耦合系统模态分析

在ANSYS WORKBENCH中建立套管柱的有限元模型，将钻井液填充入套管柱，设置钻井液外表面和管柱的内表面为流固耦合交界面。对套管柱、钻井液和水泥浆分别进行网格划分，将套管柱的一端设置为固定约束，图3为套管柱系统三维简化模型。在模态分析中，取单节套管的长度为 10 m，套管的外径D为139.7 mm，套管的内径d为124.3 mm，其材料的弹性模量(E)为2.05×1011Pa，密度为7 850 kg/m3，泊松比为0.265。套管内填充密度为1 200 kg/m3的钻井液，外部包裹密度为 1 870 kg/m3的水泥浆，厚度为76.3 mm。

图3 套管柱-水泥浆-钻井液简化模型Fig.3 Simplified model of casing string，cement slurry，drilling fluid

在无耦合状态和流固耦合状态下的各阶模态频率及在流固耦合状态下理论计算与有限元计算得到的结果对比如表1所示。在流固耦合作用下各阶固有频率低于不考虑流固耦合的情况，并且低阶模态频率成对出现，大小接近且振型相似；理论计算与有限元仿真的结果可以看出建立的模型是合理的。

表1 各阶模态频率Table 1 Various modal frequency

选取典型阶次模态云图如图4、图5所示。对比图4和图5可以看出，在无耦合状态和流固耦合状态下，套管柱的各阶频率下的模态振型基本相似；比较同阶数下的振动幅值可知，在流固耦合状态下的振幅明显低于无耦合作用时的情况，表明在流固耦合作用下，套管柱和钻井液及水泥浆的振动产生了互相叠加的效应，从而抵消了部分振幅。

图4 无耦合状态下的套管柱模态振型图Fig.4 Casing mode shape diagram without coupling

图5 流固耦合状态下的套管柱模态振型图Fig.5 Modal mode diagram of casing string in fluid-solid coupling state

3 耦合系统固有频率影响因素分析

由理论分析可知，套管柱的长度、水泥浆密度、钻井液密度等会对套管柱-水泥浆-钻井液耦合系统的横向振动固有频率产生影响。但在深井段中，随着温度的升高，套管柱的性质和尺寸会发生变化，因此除考虑上述因素外，还应考虑温度对套管柱横向振动固有频率的影响。采用控制变量法在有限元分析软件ANSYS Workbench中分别设置不同的套管柱长度、水泥浆及钻井液密度进行仿真分析，利用MATLAB软件对数据进行拟合。

3.1 套管柱长度影响效果分析

在流固耦合状态下分别取套管柱长度为10、20、30、40、50 m进行仿真分析，拟合曲线如图6所示。套管柱越长，耦合系统横向振动固有频率越小，则处在同一阶数下的套管柱所需的共振频率越小，在实际固井过程中，对长达2 000 m的套管柱可以采用较低的激励频率即可达到较好的共振效果。

图6 耦合系统横向振动固有频率随套管柱长度变化Fig.6 Variation of the natural frequency of the lateral vibration of coupled system with the length of casing string

3.2 水泥浆密度影响效果分析

在流固耦合状态下取单节套管柱长度为10 m，分别取水泥浆密度为0、1 000、1 500、1 870、2 000 kg/m3进行仿真分析，结果如图7所示。由图7可知，当套管外存在一定密度的水泥浆时，耦合系统横向振动固有频率受其密度变化影响不大；在不考虑外部水泥浆对系统的影响时，套管柱横向振动固有频率大于实际情况。

图7 耦合系统横向振动固有频率随水泥浆密度变化Fig.7 Variation of the natural frequency of lateral vibration of the coupled system with the density of cement slurry

3.3 钻井液密度影响效果分析

在流固耦合状态下取单节套管柱长度为10 m，分别取钻井液密度为0、500、1 000、1 200、1 500、2 000 kg/m3进行仿真分析，结果如图8所示。分析图8可知，耦合系统受钻井液密度变化的影响较小。

图8 耦合系统横向振动固有频率随钻井液密度变化Fig.8 Variation of natural frequency of lateral vibration of coupled system with drilling fluid density

3.4 井下温度影响效果分析

取标准温度25 ℃，在该温度下套管柱横向振动的各阶固有频率求解公式为

(14)

式(15)中：ωj0为标准温度时套管柱的j阶固有频率；j为固有频率的阶数；l0为标准温度时的套管柱长度；E0为标准温度时套管柱材料的弹性模量；I0为标准温度时套管柱横截面惯性矩；ρ为套管柱材料的质量密度；A0为标准温度时套管柱横截面面积。

在井下环境温度不超过 200 ℃的条件下，当温度升高ΔT时，套管柱横向振动各阶固有频率为[13]

(15)

式(16)中：ωj为j阶固有频率；αl为热膨胀系数，根据文献[14]取值为12.5×10-6℃-1；αE为热弹性系数，由E1/E0确定，取标准温度25 ℃时E25=2.05×1011Pa，200 ℃时E200=2.020 95×1011Pa，可得αE=-3.954×10-4℃-1。

由式(16)可知，套管柱横向振动固有频率受温度的影响与阶数无关，在套管柱长度l0=10 m的条件下，将其他各参数代入式(15)中，利用 MATLAB程序计算，计算结果如表2所示。

表2 套管柱横向振动1阶固有频率随温度变化Table 2 First-order natural frequency of casing column lateral vibration changes with temperature

由表2可知，套管柱固有频率随着温度的升高而降低，且其变化呈线性递减的趋势。因此在研究套管柱固有频率的问题时，不能忽视温度的影响。

4 流固耦合系统振动响应特性分析

振动发生器的设计需要对耦合系统的振动特性进行分析，在不同的激振力下，其动响应状态会有很大差异。目前采用的电力振动器作用于套管柱底部，激振力一般取值732、1 732、2 732 N[15]。通过有限元分析软件计算套管柱耦合系统在不同激振力条件下的底端振动响应结果如图9所示。在激振力增大的情况下，套管柱底端振动幅值不断增加，2 732 N的激振力下，其底端振动幅值是1 732、732 N时的1.6、3.7倍。激振力大小相同时，在 1.5～3.5 Hz、6～8 Hz的位移幅值更大，分别对应模态的第1阶和第3阶模态频率。