高考数学试题命制的案例研究

秦小龙 (江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学 215128)

高考作为我国选拔人才的考试制度，一直是高中教学关注的焦点．江苏高考2008年实施新方案以后，由于数学在高考总分中所占的比重较大，故而有所谓“得数学者得天下”的说法．

高中数学的教育教学中，试题命制是重要的一个方面．每个学校都需要命制期中、期末试卷，各地区需要命制高考模拟卷，所有这些，都需要掌握数学试题基本的命制方法．本文通过对江苏高考数学试题分析，总结出高考数学试题命制的一些基本方法，供读者参考．

1 原型法

所谓原型法，就是以实际生活为背景，将实际问题经过分析、综合、概括、抽象之后，进行数学化处理，编成数学试题．例如，2014年江苏高考数学试卷的第18题：

图1

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

本题就是以苏州觅渡古桥的保护为背景，经过数学化处理编制的一个数学应用题．题目新颖，基本反映实际情况．觅渡古桥是在河面最窄的地方建造的，所以实际的河岸线不是平行的，是一个喇叭口形的河岸．题目的河岸构成的图形就差不多是一个喇叭口．新桥建造以后，以新桥为界，把地块分割成两个区域，其中含古桥部分的区域是旅游景点区，所以这一侧的保护区的范围越大越好，当然最大就是和新桥相切．

问题的第(2)问就是问保护区面积最大时，保护区的设计问题，有实际意义．新桥的另一侧实际是供旅游大巴停车的地方，在抽象后的题目中没有反映．另外，古桥要位于保护区的中央部分才能得到保护，怎样才能保证古桥在保护区的中央部分呢？因为圆心是圆的最中央，所以圆心附近就是圆形保护区的中央部分，题目要求圆形保护区的圆心在古桥上，实际就保证了古桥位于圆心附近，即保证古桥在保护区中央部分，这也与实际相符．要求古桥两端离保护区边界最短的地方不小于80 m，也是起一个古桥和外界的隔离作用，从而得到保护，所以题目基本反映实际情况．

考虑到数学应用题解答的方便，故对实际问题进行了“修剪”处理．如新桥BC和河岸AB垂直，这个就是数学化处理，因为实际的背景中肯定是不垂直的．再譬如保护区是圆形的，实际背景中是不很规则的，不可能是圆形．

再如，2012年江苏高考第12题：

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．

本题是以台球为背景的题．定圆C相当于目标球，譬如红球．注意到直线y=kx-2过定点(0,-2)，相当于在定点(0,-2)处放一个母球(白球)，斜率k相当于击打母球后母球沿直线运行的方向．母球是动圆，圆心在直线上，所谓动圆与定圆C有共公点，就是母球沿直线运行碰到目标球C．问题问的是：如果动圆与定圆有共公点，则k的最大值有多大？这相当于问，要母球碰到目标球，击打母球的方向如何控制．本题是一个原创的优秀试题．

2 改编法

所谓改编法，就是对原有题目进行改造得到新题目的方法．由于高考试题要求试题具有公平性，所以用改编法进行高考试题命制，改编的原题应该是课本题或高考题．一般不能把教辅书上的题进行改编变成高考题．

2013年的第17题就是一个好的改编题．题目如下：

图1

如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y= 2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

第(1)问比较简单，我们这里讨论第(2)问．本题中的圆C是半径为1、圆心在定直线l上的动圆．第(2)问说点M既在动圆C上，又满足MA=2MO．由于A和O是定点，满足MA=2MO的点M在一个定圆上(阿氏圆)，也就是说，点M既在动圆C上，又在一个定圆上，也就是动圆和定圆有共公点的问题，或者说母球C碰到了目标球(定圆)．本题实际上是2012年第12题的改编题，改编的方法是把2012年12题中的已知定圆隐藏在等式MA=2MO中，这样就得到了2013年的第17题第(2)题．

当然，并不是所有的高考改编题有如此高超的改编技巧，有的改的就比较直接，可以称之为高度相似，譬如下面两个高考题就高度相似：

再譬如，2006年江苏高考的第18题(帐蓬问题)和2016年江苏高考的第17题(仓库问题)的第(2)问高度相似：

2006年江苏高考第18题：请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(图3)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

图3 图4

2016年江苏高考第17题：现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(图4)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍．

(1)若AB=6 m，PO1=2 m，则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

总之，改编题是高考试卷命制的来源之一，甚至是可称得上是主要来源．

3 推广法

所谓推广法，就是把原先题目的方法或结论推广到一般情形后得到新题目的方法．推广法的关键是要吃透原来题目的解法，理解原题的本质特征．

2011年江苏高考压轴题的第(2)问是很难的一个题目，经过对该题目的仔细研究，并进行推广，得到了2017年江苏高考数学卷第19题的第(2)问．我们先看一下2011年江苏高考的压轴题．

题目：设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数k∈M，当n>k时，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立．

(1)设M={1}，a2=2，求a5的值；

(2)设M={3,4}，求数列{an}的通项公式．

我们来研究第(2)问．解答的第一步是把条件中的和的等式转化为通项的等式，也即：

由题意可知当k∈M={3,4}，且n>k时，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk) ①，Sn+1+k+Sn+1-k=2(Sn+1+Sk) ②．②-①，得an+1+k+an+1-k=2an+1③．

这一步的结果表明，原数列每隔k项成等差数列．这里的k可以取3和4．也就是说数列{an}每隔3项成等差数列，而且每隔4项成等差数列．

第二步的本质就是证明数列{an}每隔3项成等差数列且每隔4项成等差数列可以推出每隔2项成等差数列，然后再从每隔3项成等差数列且每隔2项成等差数列推出数列{an}成等差数列．

现在把等式③进行推广，把左边的以an+1为对称中心的一对数的和推广到以an为对称中心的k对数的和，原来一对对称数的和是中间项的2倍，那么k对对称数的和就是中间项的2k倍，结论还是一样．这样就得到了2017年第19题的第(2)题：

对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．

(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．

4 结语

由于数学考试是数学教育评价和选拔人才的主要的方法，所以会命题、命好题是教育工作者不可回避的问题．试题命制是一个艰苦的工作， 要完成好这个工作，除了本身的积累、经验、学识和智慧，还需要学习其他人，特别是高考命题专家的命题方法．