K分布湍流信道的Gamma近似

杨露露，胡圣波*

(1.贵州师范大学 智能信息处理研究所，贵州 贵阳 550001；2.贵州省教育厅射频识别与传感网络工程中心，贵州 贵阳 550001)

0 引言

近年来，相对于传统的微波和光纤通信系统，自由空间光通信在信道容量、安全性方面具有明显的优势，但受大气湍流的影响，链路损害严重，接收端会出现强度闪烁(起伏)、光束展宽和光束漂移等现象[1-2]；与此同时，随着深空探测技术的发展，深空通信作为地球与深空探测器之间通信的唯一途径，同样引起了广泛的研究关注。当深空通信在上合期间穿过日冕区域时，受到太阳风湍流的影响，接收信号会出现与自由空间光通信类似的幅度闪烁、频谱扩展和相位闪烁等现象[3]。

事实上，不管是无线电波在太阳风湍流中传播，还是光信号通过大气湍流，出现的接收信号闪烁现象都是由传输介质折射率的随机性引起的。但是，这种传输介质折射率随机性导致传输链路信道已不能用经典的Rice分布、Rayleigh分布和对数正态分布描述[1-2]。为了研究这种现象，人们提出了多种随机信道模型，包括Gamma-Gamma模型、K分布模型、I-K模型等。而强湍流下，被广泛接受的模型之一是K分布信道模型。例如，Jakeman等[4]证明了K分布在湍流模拟中的重要性，Phillips[5]和Al-Habash[6]验证了K分布在理论和实验数据中极好的一致性，Xu等[7]证明信号强度可近似由K分布建模。而当归一化闪烁指数m限制在(2,3)范围内时，Kiasaleh证明了闪烁概率分布服从K分布[8]。

尽管K分布可以很好地描述湍流信道模型，但因其表达式十分复杂，很难用于分析包括误码率在内的通信性能[9]。为此，一些学者开展了K分布的近似研究，如Singh等[9]提出了负指数变量混合近似分布，并取得很好的效果。但是，这些近似方法并没有研究闪烁特性对误码率的影响，也少有研究近似的有效性。因此，为研究闪烁特性对误码率的影响，本文提出一种K分布的Gamma矩匹配近似方法，与文[9]提出的负指数变量混合近似分布进行了KL散度的有效性分析，给出了二进制相移键控(BPSK)误码率的闭式表达，研究了闪烁指数对误码率的影响。

1 K分布信道模型及其Gamma近似

1.1 K分布信道模型

当无线电波经过大气、太阳风等随机介质时，接收机接收到的信号可表示为：

y(t)=I(t)x(t)+z(t)

(1)

式中，x(t)是接收到的信号，z(t)是高斯白噪声，I(t)是衰落增益。当I(t)的概率密度函数为K分布时，湍流信道即为K分布信道，则I(t)的概率密度函数可表示为：

(2)

式中，衰落幅度I是服从K分布的随机变量。Kα-1(·)是二类修正的贝塞尔函数，Γ(·)是Gamma函数，μ衰落的平均强度，正参数α与随机介质特性相关，且b=α/μ。

α与衰落闪烁指数m相关，且满足[10]：

(3)

闪烁指数m则定义为：

(4)

而K分布的各阶原点矩为：

(5)

1.2 K分布的Gamma近似模型

Gamma分布是一种Pearson-III型分布，它通过匹配一阶和二阶矩广泛用于正随机变量的分布拟合。由于K分布湍流信道表达式复杂，不便于对误码率做进一步分析。因此本文考虑采用更易于分析的Gamma分布近似K分布模型。Gamma分布由下式给出[11]：

(6)

式中，k为形状参数，θ为尺度参数。

Gamma分布的各阶原点矩则为：

(7)

所谓K分布的Gamma近似，就是k和θ两个参数可通过估计K分布参数来确定。估计参数的方法主要有最大似然估计(MLE)和矩匹配法(MOM)[12]。由于最大似然估计函数涉及复杂的贝塞尔函数，因此，这里采用更为简单的矩匹配法估计参数。

矩匹配法就是使2个分布各阶原点矩相等。因此，考虑到Gamma分布只有2个参数，故使2个分布一、二阶原点相等就可得到K分布的Gamma近似。

因此，由式(5)和式(7)得：

kθ=μ1

(8)

θ2k(k+1)=μ

(9)

联立式(8)和(9)，可得：

(10)

将式(10)代入式(6)中，即得到K分布的Gamma分布近似模型为：

(11)

式中：

(12)

2 近似分布有效性分析

为便于分析近似分布的有效性，本文使用KL散度[13]来度量近似分布与K分布的近似程度。给定2个概率分布，pX(x)与qX(x)的KL散度为：

(13)

式中，pX(x)为精确分布，qX(x)为近似分布。当KL散度越小时，则2个分布越相似；反之，则2个分布差别越大。

同时，为进一步验证Gamma分布近似的有效性，这里选用负指数分布近似进行比较[14]。

图1给出了K分布参数μ=1，α=1、α=1.3、α=1.6时，Gamma分布和负指数分布近似情况。

图1 K分布的Gamma分布和负指数分布近似Fig.1 approximation of Gamma distribution and negative exponential distribution of K distribution

根据图1，直观上看，Gamma分布近似效果更好，这从图2和表1 KL值也得到证实。

图2 不同α值的负指数分布和Gamma分布的KL散度Fig.2 KL divergence of negative exponential distribution and Gamma distribution with different α values

当然，从图2和在表1还可见，随着参数α的变化，负指数分布与K分布之间的KL散度越来越大，而Gamma分布与K分布的KL散度值表明，Gamma分布与K分布更接近。

表1 Gamma分布、负指数分布与K分布的KL散度值Tab.1 KL divergence values of Gamma distribution, negative exponential distribution and K distribution

综上所述，Gamma分布的近似效果更好，采用Gamma分布来近似K分布能够达到很好的近似效果。

3 BPSK调制误码率分析

在数字通信中，误码率是衡量通信系统性能的主要指标之一。而误码率取决于所使用的的调制方式。二进制相移键控(BPSK)是相移键控(PSK)中比较流行的一种方法[15]。BPSK也称为2-PSK，使用相隔180°的两个相位，其误码率为：

(14)

K分布信道下，湍流信道误码率为：

(15)

其中pX(x)为前述Gamma分布。

根据文献[6]和[14]可推得误码率为：

(16)

式中，k和θ的值由式(10)可得。2F2(a1,a2;b1,b2;z)为广义超几何函数[18]，定义为：

(17)

其中(a)k表示Pochhammer符号。

根据式(16)，可得到K分布湍流信道BPSK调制信噪比(SNR)与误码率之间关系，如图3所示。同时，为便于分析比较，图3还给出了无湍流时BPSK调制信噪比(SNR)与误码率之间关系。

图3 在不同湍流条件下的近似误码率Fig.3 Approximate bit error rate under different turbulent conditions

从图3可看出，湍流对误码率影响非常明显，特别是信噪比(SNR)较低时，即使是湍流现象较弱时，误码率也比无湍流时高出3～4个数量级。同时，从图3还可见，随着α的增加，闪烁指数m减小，因湍流效应变弱，误码率得到降低，这就为湍流信道条件下通信系统的设计和分析提供了重要依据。

4 结论

由于K分布湍流信道表达式复杂，不便于通信系统的设计和分析，因此提出一种Gamma分布近似方法，并利用KL散度分析并验证了提出的近似方法的有效性；应用K分布湍流信道的Gamma近似，给出BPSK调制的误码率闭式，并分析了湍流对误码率的影响，为进一步分析和设计湍流信道下通信系统提供了重要理论依据。