广义逆指数分布元件的可靠性分析⋆

邢务强

（西安邮电大学，西安 710121）

广义逆指数分布元件的可靠性分析⋆

邢务强

（西安邮电大学，西安 710121）

在II型混合截尾样本下，得到了广义逆指数分布未知参数的最大似然估计。利用最大似然估计的渐近正态性构造了参数的渐近置信区间，运用Lindley’s逼近方法和Tierney&Kadane’s逼近方法计算出了参数的Bayes估计。最后，运用Monte-Carlo方法对上述估计方法结果作了模拟比较。

广义指数分布，最大似然估计，Bayes估计，II型混合截尾

0 引言

单参数指数分布是应用最为广泛的一个寿命分布，作为指数分布的一类推广，Guptah和Kundu［1］提出了广义指数分布，Lin［2］提出了逆指数分布。文献［3］讨论了逆指数分布的Bayes估计，Abouammoh和Alshingiti［4］对逆指数分布引入了一个形状参数，得到了广义逆指数分布，由于其分布结构的简单性，广义逆指数分布在各方面都有了很多的应用，文献［5］讨论了广义逆指数分布在混合I型截尾下的参数估计，与前人不同，本文讨论了II型混合截尾下广义逆指数分布的统计分析，主要考虑了分布的参数估计问题。

II型混合截尾是指假设有n个产品同时进行试验，设试验的寿命数据的顺序统计量为。事先给定和，当试验进行到至少有R个产品失效并且试验至少进行到时刻T时，试验结束，也即试验的终止时间为，这样既保证了得到的有效样本的个数，也会节约试验的时间。由II型混合截尾的定义可以看出，在II型混合截尾条件下，若不考虑无失效数据的情况下，所观测到的数据样本有如下3种情况：

广义指数分布的概率密度函数和分布函数分别为

1 参数的最大似然估计

综上讨论，最大似然函数为

其中

对数似然函数为

由式（1）可得

将式（3）代入式（2），可得

2 观察信息阵

为了得到估计参数的置信区间，利用最大似然估计的观察信息阵

其中：

从而可得协方差矩阵的估计为

3 贝叶斯估计

从而对于已知观测数据，可得的后验分布为

3.1 Lindley’s逼近

上式右端用最大似然估计值代入，这里

于是，在II型混合广义逆指数分布截尾数据下

3.2 Tierney&Kadane’s逼近

于是，在II型混合广义逆指数分布截尾数据下

4 仿真模拟

根据上面的讨论，对广义逆指数分布的未知参数进行采用蒙特卡罗仿真，仿真次数n=5 000，实验样本的个数n=100，参数的真值为α=0.6，=1。表1为在截尾时间T=3下，未知参数在3种不同截尾数下的最大似然估计值和贝叶斯估计值，括号内为估计值与真实值之间均方差，其中贝叶斯估计参数a1=1.2，a2=2，b1=2，b2=2。表 2 为在截尾数 R=70 下，未知参数在3种不同截尾时间下的最大似然估计值和贝叶斯估计值，括号内为估计值与真实值之间均方差，其中贝叶斯估计参数a1=1.2，a2=2，b1=2，b2=2。表3给出了截尾时间T=5下，未知参数在3种不同截尾数下未知参数真实值落入置信度为0.95的置信区间的比例。

由表格可以看出：①最大似然估计和两种情况下的都较为接近参数的真实值，并且贝叶斯估计的值要优于最大似然估计，并且估计值的均方差相应的小于最大似然估计的均方差；②在截尾数R=70下，随着随着截尾时间的增大，参数的估计值越来越接近真实值，并且估计值的均方差也越来越小；③由观察信息阵构造的置信区间较为合理，随着截尾样本数量的增大，置信区间的精度也越来越好。并且修正后的置信区间要优于先前的置信区间。

表1 截尾时间T=3

表2 截尾数R=70

表3 截尾时间T=5

［1］GUPTA R D，KUNDU B.Generalized exponential distributions［J］.Australian and New Zealand Journal of Statistics，1999，41（12）：173-188.

［2］LIN C T，DURAN B S，LEWIS T O.Inverted gamma as a life distribution ［J］.Microelectronics and Reliability，1989，29（4）：619-626.

［3］DEY S.Inverted exponential distribution as a life distribution model from a bayesian viewpoint［J］.Data Science Journal，2007，6：107-113.

［4］ABOUAMMOH A M，ALSHINGITI A M.Reliability of generalized inverted exponential distribution［J］.Journal of StatisticalComputation and Simulation ，2009，79（11）：1301-1315.

［5］DEY S，PRADHAN B.Generalized inverted exponential distribution under hybrid censoring［J］.Statistical Methodology，2014（18）：101-114.

［6］MEEKER W Q，ESCOBAR L A.Statistical methods for reliability data［M］.John Wiley&Sons，NewYork，1998.

［7］LINDLEY D V.Approximate Bayesian Methods［J］.Trabajos de stadistca，1980，31（1）：223-245.

［8］TIERNEY L，KADANE J B.Accurate approximations for posterior moments and marginal densities［J］.Y.Amer.Statist.Asso，1986，81（393）：82-86.

［9］周洁，贺兴时，刘俊利.双边定数截尾场合下BurrⅫ分布的 Bayes估计［J］.统计与决策，2014（20）：25-27.

［10］鄢伟安，宋保维，毛昭勇，双边定数截尾下广义指数分布的贝叶斯估计［J］. 计算机工程与应用，2012，48（1）：234-236.

［11］邢务强，师义民.I型混合截尾下指数—威布尔分布的统计分析［J］.火力与指挥控制，2013，38（5）：55-57.

Reliability Analysis of Generalized Inverted Exponential Distribution Elements

XING Wu-qiang
（Xi’an University of Posts ＆ Telecommunications，Xi’an 710121，China）

Based on type-II hybrid censored samples，the maximum likelihood estimators of the unknown parameters is derived.The approximate confidence intervals for the parameters based on the s-normal approximation to the asymptotic distribution of MLE are constructed.Bayes estimates using Lindley’s approximation method and Tierney&Kadane’s approximation method are developed for estimating the unknown parameters.Finally，Monte-Carlo simulations are performed to observe the behavior of the proposed methods.

generalized inverted exponential distribution，maximum likelihood estimators，Bayes estimates，type-II hybrid censored

O213.2

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.07.005

1002-0640（2017）07-0021-04

2016-05-05

2016-06-07

国家自然科学基金（71401134，71171164）；西安邮电大学中青年基金资助项目（101-0485）

邢务强（1977- ），男，河南三门峡人，在读博士。研究方向：应用概率统计，可靠性分析。