锐角三角函数拓展探究类问题例析

卢会鑫

[摘 要]中考是选拔性考试，初高中衔接的内容常作为中考的拓展探究题出现，既考查了初中數学知识，也考查了学生运用知识的能力.文章对锐角三角函数拓展探究类问题进行分析探讨，以开阔学生的视野，培养学生分析问题与解决问题的能力.

[关键词]锐角;三角函数;拓展探究类问题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）32-0024-02

高中阶段，锐角三角函数会扩展到任意角的三角函数，学习三角函数的半角、倍角、和差公式等，并把三角函数作为一种函数，画出正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像，研究这些函数的性质.中考是选拔性考试，初高中衔接的内容常作为中考的拓展探究题出现，既考查了初中数学知识，也考查了学生运用知识的能力.锐角三角函数部分就出现了以下的拓展探究类问题.

一、从锐角三角函数到任意角三角函数

锐角三角函数是放在直角三角形中进行定义的，任意角的三角函数是把角放在平面直角坐标系中，让角的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，让角的终边绕顶点做逆时针旋转，然后在角的终边上任取一点的坐标（x，y），这点到原点的距离为r，于是定义这个角的正弦为y：r，这个角的余弦为x：r，这个角的正切为y：x，这样就使任意角都有了三角函数值，它是根据点的坐标来求三角函数值的.

二、从直角三角形边与边的比到等腰三角形边与边的比

锐角三角函数反映的是直角三角形中边与边的比，这是因为在直角三角形中，当一个锐角固定时，这个直角三角形的形状也固定了，根据相似三角形的判定与性质，我们根据这个锐角度数画出的所有直角三角形都相似，即这个直角三角形的三边的比也被确定.按同样的道理，在等腰三角形中，当一个顶角或底角固定时，这个等腰三角形的形状也就固定了，我们根据这个顶角或底角画出的所有等腰三角形都相似，即这个等腰三角形的三边之比也被确定.利用这一点，我们也可以在等腰三角形中建立角与边的对应关系，这也是三角函数关系.

三、从任意三角形的锐角到直角三角形的锐角

求任意三角形锐角的三角函数值，如锐角三角形或钝角三角形，通常有两种方法：（1）需要作高构造两个直角三角形，通过解两个直角三角形求解;（2）将任意三角形中的锐角用等角代换，通过求与之相等的角的三角函数，得到所求角的三角函数.但是在网格中，当连接格点而成的两条线段相交时，它们的夹角在网格中，夹角的顶角并不是格点，此时求夹角的三角函数值并不容易，需要通过平行线将夹角转化为以格点为顶角的角.

评注：本题第2小题虽然通过平行线将所求角转化为以格点为顶点的角，但是它并不是直角三角形的锐角，这时需要通过作高进行再次转化，从这里我们看到，对于网格里两条连接格点线段的夹角，都可以通过等角转化求出它的三角函数值.

对于锐角三角函数的拓展探究类问题，还包括倍角三角函数探究、半角三角函数探究、角差角三角函数探究、锐角三角形与正弦定理、锐角三角函数与余弦定理等，它们都是对锐角三角函数的有益拓展，既开阔了学生的视野，也培养了学生分析问题与解决问题的能力，同时也实现了初高中数学的有效衔接，可谓一举多得.

（责任编辑 陈 昕）