2020年全国Ⅲ卷导数压轴题解法研究

栾功

[摘 要]利用导数研究函数的性质是历年高考数学压轴题的考查热点，重点研究2020年全国Ⅲ卷导数压轴题的解法，以给教师的教学和学生的学习提供借鉴与帮助.

[关键词]全国Ⅲ卷;导数压轴题;解法研究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）32-0001-04

一、 试题呈现

题目：（2020年全国Ⅲ卷21）设函数[fx=x3+bx+c]，曲线[y=fx]在点[12， f12]处的切线与[y]轴垂直.

（1）求[b];（2）若[fx]有一个绝对值不大于[1]的零点，证明：[fx]所有零点的绝对值都不大于[1].

二、 试题分析

试题严格依据中国高考评价体系命制，全面考查导数及其应用等知识，及逻辑推理能力、分析与解决问题能力、运算求解能力等.从高考评价体系的“四翼”来讲，第（1）问的命制立足于基础性，给出定点处的切线求[b]的值，设问方式常见，在教材习题和歷年高考试题中都有体现. 第（2）问的命制体现综合性、应用性和创新性，以基本概念零点为问题情境综合考查考生分析问题和解决问题的能力，设问较以往有新意，打破了刷题的怪圈.该问的解决需要综合利用函数的特征和函数的单调性，从多角度考查了利用导数研究函数性质的方法，对考生的逻辑推理能力、分析与解决问题的能力都提出了较高的要求.

三、 解法探究

评注：解法9从不完全三次方程[x3+px+q=0]的判别式入手，结合卡尔丹公式及三次方程根与系数的关系解题，在判断三次方程根的个数时有其独特的优势，但在根的求解和范围探究时对考生逻辑推理能力、数学运算能力要求都较高.

试题逐步设问，由浅入深，尤其是第（2）问的考查层次分明，重点突出，为不同层次的学生提供了广阔的思维空间，使学生理性思维的广度和深度得以展示.教师在高三备考中深入研究真题的多种解法，有利于进一步培养学生的解题能力和思维能力.

（责任编辑 黄春香）