自主评介迁移 提升核心素养*

■马全来

题目已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为,且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为。

(1)求椭圆C的方程。

(2)过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,直线OA,OM,OB的斜率分别为kOA,kOM,kOB,若kOA,-kOM,kOB成等差数列,求直线l的方程。

进一步考虑：是否过任意标准椭圆的焦点F,都存在一条直线l与椭圆C交于A,B两点(线段AB的中点为M,O为坐标原点),使得直线OA的斜率kOA,直线OM的斜率的相反数-kOM,直线OB的斜率kOB成等差数列? 从而得到问题1。

问题1：已知椭圆0)的右焦点为F,过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,直线OA,OM,OB的斜率分别为kOA,kOM,kOB,是否存直线l,使kOA,-kOM,kOB成等差数列? 若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由。

经解答求证,问题1存在满足题意的直线。

我们知道,椭圆是解析几何中一类特殊的曲线,那么能不能把这个结论推广到更为一般的情况? 即该问题是否对解析几何中的其他曲线也成立呢? 从而得到问题2、问题3。

问题2：已知圆C：x2+y2=r2(r＞0)内一定点F(m,0)(0＜m＜r),过点F且不与坐标轴平行的直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,直线OA,OM,OB的斜率分别为kOA,kOM,kOB,是否存直线l,使kOA,-kOM,kOB成等差数列?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由。

问题3：已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F,过点F且不与坐标轴平行的直线l与抛物线C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,直线OA,OM,OB的斜率分别为kOA,kOM,kOB,是否存直线l,使kOA,-kOM,kOB成等差数列? 若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由。

经解答求证,问题2 存在满足题意的直线,问题3不存在满足题意的直线。

结语：我们在原题的基础上展开对问题1至问题3的探究,这样,会使同学们在探究问题的过程中经历梳理知识、提炼方法、感悟思想的研究过程,对同学们的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养的有效训练与提升均有很大帮助。