函数与方程思想在高中数学解题中的应用

■段 蕾

在解答高中数学问题时,函数与方程思想是一种比较常用的数学思想,同学们掌握该数学思想后,可以灵活地找到数学解题思路,强化数学学习能力。同时采用函数与方程思想,可以让同学们更好地找到函数与方程之间的相互联系,通过构建相应的函数模型、方程模型轻松地解决问题。

一、函数与方程思想的概述

函数与方程思想主要是对题目中的相关信息进行分析,找出隐藏的数量关系,或者借助函数的各种性质,如周期性、单调性来解决数学问题。在高中数学解题时,注重函数与方程思想的应用是很有必要的,首先,函数与方程思想可以帮助同学们更加全面地了解数学结构,能让同学们清晰地进行逻辑推理,有助于同学们梳理、重组学到的数学知识；其次,函数与方程思想还可以促进同学们形成良好的数学思维方式及逻辑思维,这对于同学们今后的发展会有极大的帮助；最后,函数与方程思想还可以提高同学们的数学解题自信心,有助于同学们更加主动地参与到数学解题中。

二、高中数学解题中函数与方程思想的应用

1.在等差数列含参问题中的应用。

例如：已知数列{an}的通项公式符合6n2-(t+3an)n+2an=0(t∈R),问：t为 多少时数列{an}为等差数列?

分析：同学们在解答这一问题时,可以采用函数与方程的思想,先分别代入n=1,2,3,求出a1,a2,a3；然后通过2a2=a1+a3得出关于t的方程,求出t值；最后将t值代入题目中给出的等式,验证数列{an}是否为等差数列。假设数列{an}的通项公式是an=kn+b,代入题目给出的条件得出6n2-[t+3(kn+b)]n+2(kn+b)=0(t∈R),优化公式得出(6-3k)n2+(2k-3b-t)n+2b=0。由于n的多项式对于n∈N*恒成立,因此存在多项式的各项系数为0 的情况,即,解得k=2,b=0,t=4。所以当t=4时,数列{an}是等差数列。

2.在几何问题中的应用。

例如：已知抛物线y2=4x与直线l相交于A,B两点,与圆C：(x-5)2+y2=r2(r＞0)相切于M点,同时M为AB的中点,如果这样的直线l正好有4 个,则r的取值范围是多少?

分析：同学们在解答本题时,可以从函数与方程的思想出发,假设直线l的方程是x=ty+m,A,B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)。将直线l的方程代入抛物线中,得出y2-4ty-4m=0,则Δ=16t2+16m＞0,y1+y2=4t,y1y2=-4m,那么x1+x2=(ty1+m)+(ty2+m)=4t2+2m,可以得出点M的坐标为(2t2+m,2t)。结合题目信息可知,直线MC与直线AB垂直,点C为(5,0),t≠0 时,kMC·kAB=-1,整理得m=3-2t2,代入Δ=16t2+16m＞0,得0＜t2＜3。圆心C到直线AB的距离是半径,即。当2＜r＜4时,满足题意并且不与x轴垂直的直线有2个；当t=0时,斜率不存在,这样的直线l正好有2个,即x=5±r。

综上所述,当2＜r＜4时,直线l正好有4个。

总结：总而言之,函数与方程思想是高中数学解题中一种十分重要的思想,同时在高考数学中,考查函数与方程思想的题目也比较多,所以同学们在学习时,应掌握函数与方程思想的本质,并灵活应用这一思想解决实际问题,以促进数学解题水平的提升。