高中数学解题中“构造法”的应用探讨

■李先健

构造法是比较常见的一种数学解题方法,将其应用到高中数学解题中,可以有效降低解题难度,提高解题的准确性。下面就构造法在高中数学解题中的具体应用策略展开探究。

1.构造函数解决数学问题

在解决一些数学问题时,可以结合题目中的已知条件,构建新的函数关系式,让原来的问题转变成函数问题,并利用函数性质解决原来的问题。构造函数解题是一种创新过程,其本身具有很强的技巧性,同学们在应用的过程中,需要盯紧要证、要解的目标。

分析：在解答本题时,如果同学们单纯地进行计算,很难从正面得出结论,但可以结合题目信息构造一个函数,利用函数的性质来解题。设函数,可知函数f(x)在R 上属于奇函数,且呈现单调递增。由于,则。由f(x)=-f(y),即f(x)=f(-y),且函数f(x)属于增函数,得x=-y,从而证明x+y=0。

2.构造方程解决数学问题

在高中数学中,方程是十分重要的内容,与函数有着十分紧密的联系。在数学解题中,同学们可以结合题目中的数量关系、结构特征,构造相应的方程,利用方程理论解决原来的问题。

分析：在解决该问题时,同学们可以结合题目信息,重新构造一个方程t3+pt-q=0,x,y,z是该方程的三个根,p,q待定。将x,y,z代入方程可以得出x3+px-q=0,y3+py-q=0,z3+pz-q=0,将三个方程相加可以得出(x3+y3+z3)+p(x+y+z)-3q=0,代入原方程得出-18-3q=0,q=-6。依据韦达定理,得出xyz=-6=-1×2×3。由于x+y+z=0,因此x,y,z三个数为两正一负,并且负数的绝对值比较大,为-3,剩余两个数为1,2。由x,y,z是对称的,因此可以得出的整数解为：x=1,y=2,z=-3；x=1,y=-3,z=2；x=2,y=1,z=-3；x=2,y=-3,z=1；x=-3,y=1,z=2；x=-3,y=2,z=1。

3.构造向量解决数学问题

由于向量本身的性质,使得向量可以在数形之间灵活转变,在高中数学解题中,不管是几何问题,还是代数问题,或者是三角问题,都可以用向量这一工具来解决。因此,在实际解题中,同学们可以构造相应的向量来解决数学问题。

例如,有8 个非零实数,x1,x2,x3,…,x8,试证明：在x1x3+x2x4,x1x5+x2x6,x1x7+x2x8,x3x5+x4x6,x3x7+x1x8,x5x7+x6x8这6个数中,最少有一个非负数。

分析：在本题中,单看题目给出的信息,相对比较少,难以完成解题,但是对其形式进行分析后,可以发现它们的形式与平面向量在坐标运算中的数量积相关,因此可以通过构造向量的方法来解题。在直角坐标系xOy中,构造出向量,其坐标分别是(x1,x2),(x3,x4),(x5,x6),(x7,x8)。在平面上,四个向量两两所成夹角最少有一个不大于,假设向量的夹角θ不大于,则,得出x1x3+x2x4≥0,从而命题得证。