初中数学分类讨论思想在解题中的应用研究

2020-11-25胡玉存

名师在线 2020年21期

胡玉存

（甘肃省武威市凉州区高坝镇十三里堡九年制学校，甘肃武威 733000）

引言

根据我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求，初中数学教育应注重培养学生的个人思维。教师要采取科学的教学方法，全面提升学生的数学核心素养。而数学中的分类讨论思想是常见的思想方法之一，在许多应用题的解析过程中，都能够得到良好的应用。因此，许多初中数学教师都将分类讨论思想与实际教学相结合，基于培养学生数学思维的要求，进而推动我国初中数学教育事业的良性发展[1]。

一、初中数学分类讨论思想在解题中的重要性与原因

（一）初中数学分类讨论思想在解题中的重要性

面对当代教育的改革，数学作为初中教育体系中的重要科目，也成为学生学习任务中的难点之一。针对如何在数学教学中培养学生的逻辑思维能力，教师需要将数学思想的渗透作为着力点，以全面提升学生的学习能力。初中阶段是青少年的成长阶段，在这一成长阶段的学生对周围的新鲜事物有强烈的好奇心，且自身的自制能力也相对较弱，而教师可利用学生的这一成长特点，将其作为培养学生学习兴趣的关键前提，从而通过一些教学手段引导学生对数学学科产生兴趣，充分发挥学生的主观能动意识。在初中数学解题过程中，分类讨论思想就是从多个角度更加全面地论述问题，并最终确定题目的正确答案。这种方案化的解题方式，往往可以拓宽学生的思维宽度，强化学生在面对各类问题时的思维跳跃性与灵活性。针对不同的学习情况，教师更应有针对性地展开教学，这样才能提升课堂的教学效率。

（二）初中数学分类讨论思想在解题中的重要性成因

当代教育的教学理念是因材施教。对于不同学生的学习情况，教师应采取多样化的教学方式，对不同层次的学生开展符合其学习需求的教学方法。在实际解题教学中，教师应合理地引入分类讨论思想，要根据实际的问题类型决定，如初中数学教学中常见的三角形问题、函数问题与不等式问题等。对于题目的实际情况，所采取的分类讨论、回答方式也多种多样。基于不同定义的区分与讨论，以这一思想为引导的解答过程，都能为学生提供清晰的解题思路[2]。

二、初中数学分类讨论思想在解题中的应用研究

（一）关于应用题方面的具体应用

在初中数学教学的解题内容中，应用题是主要的问题形式，学生所需要具备的基础素养中，解题能力也是其中之一。如在某例题中，家具厂需要生产课桌与学生椅，而市场的定价情况是，课桌的定价为150元，学生椅的定价为50元。家具厂为了调节市场利益，现推出两种形式的配套购买方案：方案一，每购买一张桌子，赠送一把椅子；方案二，若配套购买桌子与椅子，则桌子单价打九折。根据数学的分类讨论思想，我们可以将题目中的已知条件列举出来，也就是说，当消费者所购买的桌、椅成套数量为x时，方案一的价格为“150x”，方案二的价格为“（90%×150+50）x”。本应用题的问题是：假设某学校需要购买50 张桌子和50 张椅子，那么哪种购买方式最为合算？从问题中可以看出，需要学生对两种方案进行依次计算，再进行结果比对，最终确定方案的选择。这一求解的过程，就是数学分类讨论思想应用的过程。因此，可得出以下计算过程：方案一，150x=150×50=7500（元）；方案二，（90%×150+50）x=185×50=9250（元），∵7500 ＜9250，∴方案一更为合算，故方案一为最佳购买方式。

（二）关于函数方面的应用

函数是初中数学教学中的重点内容。许多学生在学习函数的过程中，常遇到诸多的难点。而部分初中学困生的成因也正是函数部分的知识没有“吃透”，对基础知识的应用水平也不高。针对函数的概念而言，学生从七年级数学开始首次接触一次函数，函数作为一种全新的代数性思维，学生的基本思维在与代数性思维接轨的过程中，发生“脱轨”也属于正常现象，但通过数学分类讨论的形式，就可以对初中数学中函数部分的知识点加以简化。如在一次函数中，关于象限中的函数图像常出现求坐标值的问题。

例如，y=2ax+x+1（a为常数）的图像与x轴存在一个交点，那么求a的具体值为多少。这一题型对于初中学生来说，有一定的难度，但通过分类讨论的思想进行求解，就能够为学生提供清晰的思路。首先，该函数为一次函数，那么2ax的项则为0，故当a=0时，函数图像与x轴的交点应为（-1，0）；若该函数可能为二次函数，那么a作为二次项，则a值不可为0，故a=0.25，则该函数图像与x轴的交点为（-2，0）。在这一思考过程中，所应用的数学逻辑思维就属于分类讨论思想，学生可通过对两种可能存在的情况进行分别讨论，从而得出多个方面可能存在的数值，最后将数值进行汇总，得出此题的具体答案。对于初中教学而言，教师应让学生知道，在一道问题中未必只存在一个答案。分类讨论的思想正是将这种全面的思维融入进去，从而对学生的思维宽度予以拓展。

（三）关于不等式方面的应用

在当下时代的初中数学教学中，分类讨论思想由于自身的实用优势，在日常数学课堂教学中应用范围较广，且能够适用于各类教材版本的教学。在初中不等式问题中，分类讨论思想也可以彰显出重要的教学价值。

例如，某单位计划9月组织员工团建，人数在10～25 人，甲、乙两个旅行社的服务质量相同，且旅游价格都是200元/人，但甲旅行社承诺给每位游客七五折优惠，乙旅行社可以免去一位游客的费用，剩余游客享受八折优惠。如果你是该单位的负责人，你会如何选择？首先这道例题与上文的“成套桌椅购买问题”相似，但不同之处在于，本题的人数并不固定，处于10～25 人之间，这就需要学生在解题时，应用分类讨论思想做出明确的探究。解题思路如下：假设该单位参与团建的人数为x，则选择甲旅行社的总费用为200×0.75x元，而选择乙旅行社的费用为200×0.8（x-1）元。这道题可分三种情况讨论：（1）当200×0.75x＜200×0.8（x-1）时，应选择甲旅行社，x＞16；（2）当200×0.75x＞200×0.8（x-1）时，应选择乙旅行社，x＜16；（3）当200×0.75x=200×0.8（x-1）时，选择甲、乙旅行社均可，x=16。数学分类讨论思想的核心在于培养学生的解题思路。教师应基于这项要求制订具体的教学计划。