操作比较中发现 探究思考中建模——基于《有余数除法的认识》一课的整体设计与思考

⦿潘明珍

众所周知，自平均分物品开始，便出现了两种情况：一种是正好分完，没有剩余的情况，除法计算时可以借助表内乘法口诀直接解决；另一种是不能正好分完，有剩余的情况。因此，作为一节数运算的课，“有余数的除法”是表内除法的延伸。实际教学中可以通过实践操作，帮助学生有效寻找得到答案。如第一环节通过圈一圈、填一填，初步认识余数这一概念；第二环节研究有余数除法的计算方法，从而寻找商和余数；第三环节借助除数相同，被除数不同的大量除法式题，探究本节课的难点：“余数一定要比除数小的规律”，引导学生经历提出猜想、举例验证、得出结论的过程。

第一环节：操作中形成余数概念，理解有余数除法算式的含义。

1.圈一圈、填一填

如将20个球、23个球，每5个一份，看看分成几份，还剩几个。【拓展练习“平均分”、“认识除法”两课中分一分的内容，即20-5-5-5-5=0 20÷5=4 23-5-5-5-5=3】

【设计意图：学生在圈的过程中，体会到了有的能正好分完，有的有剩余的情况，建构完整的除法认识结构。】

2.尝试分类：想想你是根据什么来分的？

【设计意图：通过分类，从整体结构上知道除法分为两种情况：一种是能整除，没余数的情况；另一种是不能整除有余数的情况。】

3.列式解决分完的情况

4.聚焦到有剩余的情况。如将18个画片分给4个同学，看看分成几份，还剩几个。

(1)学生尝试列式，计算

算一算，有困难的可以借助小圆片分一分。

教师及时进行指导有余数的除法中商和余数的记录方法。

(2)同桌交流方法、读法、含义。

【设计意图：学生第一次遇到不能正好分完的情况，学生不会记录，对意义的理解也比较模糊，因此，有必要进行指导有余数的情况和意义的解读。】

5.揭示课题。

第二环节：探究中形成求商方法，体悟有余数除法结果的算法。

1.过程拓展。

设问：不借助小棒，在图中圈一圈、分一分，怎样能算得对又快呢？

出示：22÷4 31÷6 20÷7

预设学生错误资源：(1)余数比除数大(2)连续减出错(3)试商困难

针对学生出现的错误情况，一一找出对策。

2.归纳结论：看除法想乘法，利用口诀求商。

3.及时检测：11÷5 13÷6 42÷8 33÷4

【设计意图：探究有余数除法的算理，帮助学生从直观操作得出结果过渡到利用口诀试商直接得到结果，理解口诀对于求商和余数的实际意义。】

第三环节：比较中发现余数规律，初步得出余数比除数小的规律。

1.呈现问题，提出猜想。

(1)摆小棒：

用4、5、6、7、8、9……根小棒，每4根摆一份，结果会怎样呢？

(2)摆小棒，写算式

推进：

(第一层次)如果你能直接写出结果，可以不摆小棒，直接写结果。

(第二层次)如果你已经有所发现，算式就可以不写了，把你的发现和同桌说说。

学生错误资源

4÷4=1、5÷4=1……1、6÷4=1……2、7÷4=1……3、8÷4=1……4、9÷4=1……5、10÷4=1……6、11÷4=1……7、12÷4=1……8

学生正确资源

4÷4=1、5÷4=1……1、6÷4=1……2、7÷4=1……3、8÷4=2、9÷4=2……1、10÷4=2……2、11÷4=2……3、12÷4=3

(3)根据正确的算式和结果说发现，提出猜想。设问：观察表2，你有什么发现？

提出猜想：是不是有余数的除法中，余数都比除数小呢？我们要举例验证。

【设计意图：数学学习中充满着规律，教师要引导学生善于观察、敢于猜想、仔细验证。学生只有经历了有根据的猜想，才能在学习中大胆假设。】

纵观本节数运算的教学，教学的进程通过将抽象的算式与具体的操作结合起来，算理在教学中逐步推进、分层渗透，学生逐渐形成主动学习的心向，形成关键能力，课堂呈现了这样的三大特点。

一、结构清晰中体现知识教学的整体性

在有余数除法概念的形成中，教学以问题资源为导火线，激发需求，依托学生试写算式，过程中聚焦学生困难，再从算式、结果形式、名称、读法、意义等几个方面整体认识后，形成概念，让学生真实经历过程。过程中的分类感知，不仅真实感悟平均分物体可能正好平均分完，也可能有剩余，形成有关除法的整体意识，同时依托平均分和除法的学习经验，初步形成学习方法结构，以此感悟新旧知识衔接点，寻找到新知识的生长点。

二、知识形成中注重资源处理的过程性

教学中，教师结合具体情境，引导学生操作理解，且根据问题，学生不断产生新的资源。在新资源的推动下，教学不断向深处迈进。如学生试写算式，学生的不同资源：9-2-2-2-2=1、9÷2=4、9÷2=4余1，在比较辨析中，学生主动接受、并且形成有余数除法的算式。再如验证发现时，教师紧扣“为什么剩下来的数不能是4、5、6……，”激发学生思考平均分的过程意义，从而懂得还未分完，从而经历余数产生的过程，不是随便有剩余就可以。

三、意义理解中呈现知识之间的关联性

在概念形成的过程中，学生不断经历分物体的过程，引导学生自主发现：以前关注的多是分的过程，而这里更多的是关注分的结果，且通过例举生活中有余数除法的情况，促进对“有余数除法”的理解。让“平均分”与“除法”、“减法”与“除法”之间的关系更加明晰，从而在整体意义上建立知识的框架与结构。