关于功、能相关问题的探讨

云南 杨习志

(作者单位：云南省昆明市第一中学)

在中学关于功、能章节的教学过程中，笔者发现存在很多问题值得探讨，产生这些问题的主要原因是中学的教材中很多定义都是针对质点而言的，但在实际的教学过程中往往会涉及一些非质点的问题，故很多时候老师们用对质点的定义去处理和解释非质点的问题时，往往就很难搞清楚问题的根源，甚至一直沿用着错误的讲法给学生讲解。因此，理清这些问题是非常有必要的，希望本文能对中学教师在功、能章节的教学过程中起到一定的帮助作用。

一、力做功的位移是指物体的位移还是力的作用点的位移？

关于力做功的位移，我们都清楚是指在力的方向上发生的位移，但问题在于是谁在力的方向上的位移，是物体在力的方向上的位移还是力的作用点在力的方向上的位移？很多老师认为是物体在力的方向上发生的位移，这样的理解对于质点是可以的，但对于质点系就会出问题。

在中学的教材中对公式W=FL是这样释义的，即“1 J的功等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功”，教材中的定义是针对质点而言的，对于质点，物体的位移与力的作用点的位移是一样的，但对于质点系，如果再用物体的位移就会产生概念模糊，解释不清，因为质点系里各质点的位移可能都不一样，说物体的位移意义不明了，那会不会是质心的位移？在大学的教材中对1 J功的释义就更具体一些，即“1 J的功等于1 N的力使受力点沿力的方向上移动1 m时所做的功”，可见力做功时的位移应是力的作用点发生的位移。

1.人走路、起跳、爬楼梯问题

如图1所示，人走路、起跳、爬楼梯时，地面对人的摩擦力和支持力对人不做功，这个结论大家都清楚，但用物体在力的方向上的位移给学生解释时就遇到了困难，因为物体的质心在力的方向上确实是发生了位移。这类问题属于质点系问题，在这一类问题上，力做功的位移是力的作用点的位移，虽然物体的质心发生了位移，但力的作用点没有发生位移，故力没有做功。其次，人走路时人对地面的摩擦力对地面也不做功，因为摩擦力与地面的作用点在时刻变换，而且每一个作用点在有力作用的时候都没有动，故也不做功。

图1

2.汽车行驶问题

汽车(前轮驱动)行驶时地面对汽车的摩擦力对汽车是否做功是一个比较复杂的问题，如果不考虑汽车轮胎的形变，那么会发现地面对轮胎的摩擦力对汽车是不做功的，因为盯住轮胎与地面接触的那个点来看的话，会发现这个点时刻在变，不断地被下一个接触点代替，故摩擦力的作用点实际上并未发生位移，故摩擦力对汽车不做功。但在现实问题中，作用点是很难定义的，往往是面和面接触，如图2所示，由于汽车的轮胎会发生形变，导致轮胎和地面接触的不是一个点，而是一个面，从这个角度来看，似乎地面对轮胎的摩擦力对轮胎却又是做功的，其实不然，此时，虽然是面和面接触，但每一个接触点都是和地面一一对应的，且每一对接触点(作用点)之间没有发生相对滑动，故没有发生位移，因此地面对主动轮和从动轮的摩擦力对汽车都是不做功的。

图2

当然，我们也会问，既然摩擦力对汽车不做功，那么汽车的动能是怎么来的？其次，汽车匀速运动时，有Pmt-Wf=0，式中的Wf怎么解释？首先，汽车获得的动能来自于汽车的发动机做功，即内力做功，从质心运动定理来看，主动轮的摩擦力，其作用是使汽车获得平动加速度。其次，Wf中阻力做功的阻力并不是指让汽车从动轮发生转动的静摩擦力，而是汽车轮胎与地面因发生形变而产生的滚动摩擦阻力矩以及其他的机械阻力和空气阻力等，而让汽车从动轮发生转动的静摩擦力实际上并没有对汽车做功，从质心运动定理来看，这个摩擦力的作用与主动轮的作用相反，起到削弱平动加速度的作用。

3.传送带问题

如图3所示，将一个物块轻轻地放在顺时针匀速传动的传送带上，在物体与传送带共速前物块会受到向右的摩擦力作用，由于物块上的任何一个作用点都发生了位移，故摩擦力对物块做正功。反过来，物块对传送带的摩擦力向左，抓住传送带与物块接触的第一个作用点，会发现这个作用点在摩擦力的作用下从物块的一端运动到另一端，故作用点在摩擦力的作用下发生了位移，摩擦力对传送带做负功。值得注意的是，如果把物块看成一个点的话，那么物块对传送带的摩擦力对传送带则不做功，作用点时刻在变，因此，在探讨物块对传送带的摩擦力对传送带做功这个问题中，不能把物块看成质点。

图3

二、关于内力做功的问题

1.常见的特殊内力做功问题

中学物理中常见的较为特殊的内力做功问题主要有人的内力做功和汽车的发动机做功，在图1所示的问题中，人走路、起跳和爬楼梯时由于摩擦力和支持力的作用点未发生位移，故摩擦力和支持力对人均不做功，人体获得的动能其实是来自于人体的内力做功，人体通过内力做功将自身的生物能或化学能转化为自身的动能和重力势能。如图4所示，人举着杠铃不动，人对杠铃显然不做功，那人为什么会感觉到累呢？这个问题虽然看似并不是一个问题，但让学生用功能知识解释却并不容易。实际上是因为人虽然没有对杠铃做功，但为了平衡杠铃的重力，人体必须不断地由大脑通过神经系统向肢体肌肉组织发出电信号，使肌肉产生力量来维持平衡，此时，人体的内力在不断做功，消耗自身的生物能或化学能，并将其转化为热能。同样，汽车在行驶时地面的摩擦力对汽车也不做功，汽车获得的动能来自于发动机的内力做功。

图4

2.内力做功转化为平动(相对于转动而言)动能的条件

在人走路、起跳、爬楼梯和汽车行驶等特殊内力做功的问题中，都存在一个共同的问题，即合外力不做功，但合外力不为零，那么这个不为零但不做功的合外力起着什么样的作用呢？根据质心运动定理F合外力=mac可知，受到不为零的合外力是系统的质心获得加速度的前提，因此，如果没有地面摩擦力的辅助作用，那么人和汽车即使有内力做功，也无法获得质心加速度，无法正常行走或行驶，便无法将内力做的功转化为自身的平动动能，可见，内力做功转为平动动能是有条件限制的，即系统受到的合外力不为零。

三、动能定理是“合外力做功等于物体动能的改变量”吗？

在中学关于动能定理相关内容的教学中，最常见的错误就是将动能定理讲成“合外力做功等于系统动能的改变量”，这一说法即使在教辅书上也屡见不鲜，在老师和学生当中则更为突出。究其原因，可能是受到牛顿第二定律和动量定理以及动量守恒定律等的影响，因为牛顿第二定律F=ma与动量定理Ft=Δp中的F均指合外力，动量守恒的条件也用到了合外力为零，因此，很多老师和学生在记忆动能定理时就潜意识地记成了合外力做功等于系统动能的改变量这一错误说法。在人教版必修2第7章第7节动能定理的教材中是这样描述动能定理的，即“力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化”。如果物体受到几个力的作用，则动能定理的W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。可见，教材中的定义是针对质点而言的，对于质点只有合力没有合外力。其次，教材中是以质点为例推导出了动能定理的表达式，进而得出动能定理的结论，因此，教材中这样的定义是针对质点而提出的。在有些教辅书上出现了W合力=ΔEk这样的公式，虽然与教材中的定义相一致，但没有注明只针对质点这一条件，以及没有对W合力加以解释，仍然容易让学生产生理解上的错误。比如，W合力是指合力做的功还是力做功之和？这得看受力的特点，如果是质点，且所有力始终作用在物体上，则W合力可以看成是合力做功。如果是质点，但各个力作用的时间不一样，则W合力要理解为各个力做功的代数和。可见，把W合力定义为各力做功的代数和更好一些。如果是质点系，则实际上，对于系统的动能定理要运用质点系动能定理W外+W内=ΔEk，即质点系动能的变化量等于所有外力与所有内力做功的代数和。可见，外力与内力做功均会改变系统的动能，因此，给中学生讲解涉及系统的功能问题时，要么用能量转化与守恒的思想，要么把质点系动能定理简写成W总=ΔEk，即所有力做的总功等于系统动能的改变量。因此，在解释以上人走路或汽车行驶的特殊问题时，实际上需要两个理论才能解释清楚，即质心运动定理和质点系动能定理，人或汽车受到的摩擦力虽然不做功，但可以使人或汽车获得平动的加速度，进而将内力做的功转化为自身的平动动能。

四、综合运用

如图5所示，是测定运动员体能的一种装置，运动员的质量为m1，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮(不计滑轮摩擦和质量)，悬挂重物的质量为m2，人用力蹬传送带而人的重心不动，使下方的传送带以速率v向左运动。则以下说法正确的是

图5

( )

A.传送带对人做负功

B.人对传送带不做功

C.人对传送带做功的功率为m2gv

D.人对传送带做功的功率为(m1+m2)gv

【分析】从图中可以看出，人在走动的过程中，人对传送带的摩擦力向左，由平衡条件知大小为m2g，且作用点向左移动，故人对传送带的摩擦力对传送带做正功，功率为m2gv。传送带对人的摩擦力向右，大小也为m2g，且作用点向左移动，故传送带对人的摩擦力对人做负功，功率为-m2gv。人的重心不动，故人的平动动能改变量为零，原因来自于人的内力对人做正功，正好与传送带对人做的负功抵消，即外力与内力对人做的总功为零，故人的动能不变，同时，由于人受到的合外力为零，导致人的质心加速度为零，与人的平动动能改变量为零吻合，选项AC正确。注意这里的情况与人在地面上走是完全不一样的，虽然作用点也随着人的走动在变，但在每一次接触的过程中(换脚前)，作用点是发生了位移的。