“另类”求解三力的静、动态平衡问题

2020-11-18福建黄红武

教学考试(高考物理) 2020年5期

福建黄红武郭威

(作者单位：福建省南平市浦城第二中学福建省南平市第九中学)

力的平衡作为高中重要的知识模块，对整个高中学习的重要性不言而喻，对三力静、动态平衡的求解方法也作为论文素材频见于期刊、学报，但求解方法大同小异，无外乎矢量图解法、相似三角形法、辅助圆法、正交分解法等一些针对基本题型的通法通解，但遇到一些力的静、动态平衡迁移问题时，用这些方法解决过程很繁琐或无法解决，在教学实践过程中总结出下面几种“另类”求解力的静、动态平衡问题的方法，细细品味却也蕴含着精妙的物理思维与方法，出奇制胜。

一、杠杆平衡原理法

这里的杠杆平衡原理法其实就是力矩平衡法，只是力矩知识大部分地区不作为高考要求范围，给学生讲力矩有超纲之嫌，但杠杆平衡原理学生在初中已经用得得心应手，所以我们可以借用杠杆平衡的思想来解决力的平衡问题，在教学实践中发现在研究对象不能看作质点的物体或系统时，用杠杆平衡原理法明显快捷得多。

【应用示例1】如图1所示，重为G的球静止于图示位置，绳与竖直方向的夹角为θ，与球相切于D，球与竖直墙面的接触点B，求绳的拉力FT，球与墙面的摩擦力Ff和弹力FN。

图1

图2

【方法点拨】此法关键在于灵活地选取支点，同一题可以通过选择不同的支点，尽量让不需要求解的力通过支点，使之力矩为零，这里的力矩=力×力臂，表示使物体转动的趋势，从而达到减小杠杆平衡式中力的个数。

图3

( )

A.45° B.30° C.22.5° D.15°

图4

二、微动态观察法

一个力大小不变，另两个力的方向都在变化的问题，用常规方法是采用相似三角形求解，但此类问题有时相似三角形并不适用，教学实践中发现很多人在求解此类问题时不知所措，用正交分解等方法又因为数学过程过于繁杂费时费力，所以基于该动态分析基本为定性分析，在两个方向均发生变化时，采用微动态矢量图法，观察每经过微小过程中矢量三角形中各力的大小变化从而得出结论，事半功倍。

【应用示例2】如图5所示，光滑小球用一根不可伸长的细绳系住，绳的另一端经过半圆形的光滑碗的边缘A点。现用水平力拉动小球，小球在碗壁上缓慢地滑动，细绳始终处于绷紧状态。小球从碗底中心点位置开始到接近碗口边缘A点的过程中，碗面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是

图5

( )

A.FN保持不变，FT不断变小

B.FN不断变小，FT不断变大

C.FN保持不变，FT先减小后增大

D.FN不断减小，FT先减小后增大

【应用示范】如图6所示，用水平力缓慢地拉动小球过程中，小球受到的支持力方向一直指向圆心O，绳对小球的拉力一直指向A，尽可能多画出几个位置的受力动态矢量图，由图可知FN不断变小，FT不断变大。B选项正确。

图6

【方法点拨】此法的关键在于“微”动态，即根据题设要求，将矢量进行微动态矢量作图，有时还需要注意变化过程中的特殊位置，要重点画出，再对整个变化的规律进行分析判断。

【小试牛刀2】如图7所示，不可伸长的轻绳AO和BO下端共同系一个物体P，且绳长AO>BO，A、B两端点在同一水平线上，开始时两绳刚好绷直，细绳AO、BO的拉力分别设为FA、FB。现保持A、B端点在同一水平线上，在A、B端缓慢向两侧远离的过程中，关于两绳拉力的大小随点A、B间距离的变化情况是

图7

( )

A.FA随距离的增大而一直增大

B.FA随距离的增大而一直减小

C.FB随距离的增大而一直增大

D.FB随距离的增大先减小后增大

【方法演练】初始状态BO竖直，所以BO绳拉力等于重物的重力mg，AO绳拉力为零。当B缓慢向右移动过程中，对于重力、AO绳的拉力FA、BO绳的拉力FB构成如图8所示的矢量三角形，作出几个位置的受力动态矢量图，由图8分析可知，AO的拉力FA随着B点向右移动一直增大，BO绳的拉力FB却是先较小后增大。AD选项正确。

图8

三、力的图示测量法

在高中阶段力的图示大多数在验证平行四边形实验后就很少应用，殊不知该方法用于力的平衡问题中题设所给的已知条件为具体数值，且数值运算相对复杂、结果也需要具体数值的选择题，采用力的图示在误差范围内结果相差不大，省去了用列表达式的数学运算，从而快速得到正确选项。

【应用示例3】某校物理课外小组神奇地用一个细绳套和两根轻牙签吊起一把汤匙，实验如图9所示。其中牙签P穿过细绳套置于水平桌面上，牙签Q上端撑在牙签P的左端，下端插入绳套打结点O处。汤匙的质量为30 g，稳定时测量可得细绳和牙签Q与水平方向的夹角分别为α=53°和β=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2。对于装置研究可知

图9

( )

A.细绳承受的力大于牙签Q承担的力

B.细绳承受的力小于牙签Q承担的力

C.细绳承受的力为0.86 N

D.牙签Q承受的力为0.86 N

【应用示范】对结点O受力分如图10所示，因为整个系统处于平衡状态，重力、细绳承受的拉力FT、牙签Q所受的力FN三力构成一个闭合的矢量三角形，由此可知细绳承受的力大于牙签Q承担的力，A选项正确，B选项错误；重力mg=0.3 N，用刻度尺画出重力的矢量长度为3 cm(该长度只是一个标度值，要便于换算)，细绳承受的拉力FT的矢量长度为8.6 cm，牙签Q所受的力FN的矢量长度为6.4 cm，根据比例关系换算可得，FT=0.86 N，FT=0.64 N，C选项正确，D选项错误。

图10

【方法点拨】此法仅适用于选择题，为了便于快速换算，要注意长度标度的选择，此方法关键在于作力的矢量图时要用直尺规范作图，只要规范作图，虽然有一定的误差，但选项间的数值相差一般不会太过于接近，这样基本可以按范围选中正确答案，快速秒杀。此法甚至可以推广到牛顿第二定律和一些矢量合成的选择题。

【小试牛刀3】由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图11所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为

图11

( )

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.东偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.东偏南方向，2.7×103m/s

【方法演练】依题意可知同步卫星的环绕速度v1是卫星飞经赤道上空时的速度v2的二倍，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，作出矢量图如图12所示，由图可知发动机给卫星的附加速度的方向东偏南方向；用刻度尺画出卫星飞经赤道上空时的速度v2的矢量长度为1 cm，即同步卫星的环绕速度v1的矢量长度为2 cm，量出发动机给卫星的附加速度Δv的矢量长度约为1.3 cm，故Δv=1.3×1.55×103m/s≈2.0×103m/s，B选项最接近该数值，故B选项正确。

图12

四、三力汇交原理法

在教学中发现学完力的平衡，有的人对三力汇交基本处于陌生状态，人教版教材对共点力的定力为：如果一个物体受到两个或更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力，说明物体在不平行的三个力作用下时平衡，这三个力或其延长线必汇交到一点，简称为“三力汇交原理”。平时我们研究的对象多数可以看成质点或直接研究绳的结点，受到的力直接作用在同一点上，但类似有质量的杆或重力不可忽略的杆大多数不能看成质点，又因为力的合成的平行四边形定则只适用于共点力，就需要借助“三力汇交原理”来确定作用点，使共点力的平衡跃然纸上，就可以利用平行四边形定则或矢量三角形定则解决问题，难题就不难了。

【应用示例4】如图13所示，由密度分别为ρ1、ρ2(ρ1>ρ2)的两段长度相同的材料组成的细杆P一端放在水平地面上，另一端靠在固定于地面上的光滑半圆柱Q上，处于平衡状态，P与地面和Q的接触面点分别为M、N，半圆柱体Q的球心为O。现将细杆P翻转，使密度为ρ2部分置于N点，细杆P仍能保持静止状态，下列说法正确的是

图13

( )

A.细杆P翻转前在M点受到的摩擦力沿MN方向

B.细杆P翻转前在M点受到的支持力竖直向上

C.细杆P翻转后在N点受到的支持力大小不变

D.细杆P翻转后在M点受到的摩擦力变大

【应用示范】对细杆P受力分析可知细杆P翻转前在M点受到的摩擦力Ff沿水平向右，A选项错误；细杆P翻转前在M点受到的支持力FM竖起向上，B选项正确；把M点受到的摩擦力和M点受到的支持力合成为地面对M的作用力F，即细杆P受重力mg、地面作用力F、半圆柱体的支持力FN，因为ρ1>ρ2，所以细杆P受重力的重心作用点在ρ1段，根据三力汇交原理，细杆P受力如图14所示，三力构成闭合矢量三角形如图15所示，翻转后半圆柱体的支持力FN的方向不变，重力mg大小不变但其重心位置向上移动，地面对M的作用力F与水平面的夹角变小，此时F和FN的大小如图15中的虚线，即半圆柱体的支持力FN变大，C选项错误；由于地面对M的作用力F的水平分量为M点受到的摩擦力Ff，由图15可以看出翻转后摩擦力Ff变大，D选项正确。