转换参考系 突破传送带二维传送问题瓶颈

福建 郭 威

传送带是高中物理的一个重要模型，对学生受力情景分析、运动情景分析和功能情景分析的能力考查有着很好的示范效果。平时接触的传送带模型一般情况下为物带同线的一维传送带问题，学生对此类问题的分析与处理比较熟悉，但对于二维传送带传送问题的分析与处理却常常遇到瓶颈，难点在于一维到二维的变化、滑动摩擦力的大小与方向的确定等问题容易出错。

传送带二维传送问题表现为物体运动的速度方向与传送带运动方向不同线的相对运动，由于物块与传送带的动摩擦因数是不变的，物块对传送带的正压力也是不变的，所以物块与传送带受到的滑动摩擦力大小Ff=μFN也不变，而滑动摩擦力的方向与相对运动的合速度方向相反，所以摩擦力的方向会因为物块相对传送带运动速度方向的变化而变化，从而使传送带二维传送问题的解决变得复杂。由于“滑动摩擦力与相对接触面的运动方向相反且在同一条直线上”，而一般传送带是匀速运动的，若以传送带为参考系，这个参考系就是惯性参考系，对于惯性参考系，所有总结出来的力学规律都是相同的，所以解决传送带二维传送问题时，我们可以通过变换参考系，即以传送带为参考系来研究问题，突破滑动摩擦力的方向难以确定的瓶颈，使得解决问题的途径更加简洁，充分体现过程与方法。

一、物体相对传送带做匀速直线运动的二维问题

【试题调研1】如图1所示，质量为m的长方体物块放在水平放置的钢板C上，物块与钢板间的动摩擦因数为μ，由于光滑固定导槽A、B的控制，该物块只能沿水平导槽运动。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时用水平力F拉动物块使其以速度v2(v2的方向与v1的方向垂直，沿y轴正方向)沿槽匀速运动，以下说法正确的是

( )

A.若拉力F的方向在第一象限，则其大小一定大于μmg

B.若拉力F的方向在第二象限，则其大小可能小于μmg

图1

图2

图3

【总结反思】因为钢板是匀速运动的，以钢板为参考系，根据两个方向的分速度判断出物块相对于钢板的合速度方向，从而根据“滑动摩擦力是相对于接触面的运动产生的，且方向与相对运动的方向相反”得出物块相对钢板的摩擦力方向，突破了二维传送的一个难点，从而明确了本题滑动摩擦力的大小与方向是一个不变的力，为解决本题三力动态平衡时“控制滑动摩擦力不变、挡板的弹力方向不变”提供了切入点；同时通过两分速度与合速度的关系可以得出它们之间的夹角关系，挖掘出求解问题的一个隐含条件。

二、物体相对传送带做匀变速直线运动的二维问题

【试题调研2】一货物传送装置如图4所示，由倾角θ=37°表面粗糙的固定斜槽和足够宽的水平传送带组成，斜槽与传送带垂直，末端与传送带在同一水平面上且相互靠近。传送带以恒定速度v0=3 m/s向前方运动，现将一质量m=1 kg可视为质点的物块，从距离斜槽底端为s=2 m的顶点A处无初速度释放，物块通过斜槽底端衔接处速度大小不变，物块最终与传送带相对静止。(已知物块与斜槽间的动摩擦因数μ1=0.25，物块与传送带间的动摩擦因μ2=0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)试求：

图4

(1)物块在斜槽上的运动时间t；

(2)物块滑上传送带时受到的摩擦力大小及方向；

(3)物块在传送带上运动过程的最小动能Ek。

【解题思路】(1)在斜面上对物块受力分析可知

mgsinθ-μ1mgcosθ=ma1①

联立①②式得t1=1 s ③

(2)以传送带为参考系，俯视图如图5所示，物块刚滑上传送带时，v1=a1t1=4 m/s

方向与垂直于传送带运动方向的夹角为α=37°

物块所受的摩擦力大小Ff=μ2mg=5 N

由几何关系可知，物块所受摩擦力方向与x轴负方向的夹角也为α=37°角并指向左上方

图5

(3)以传送带为参考系，如图5所示的直角坐标系中分析可知

水平方向Ff1=Ffcosα=max

竖直方向Ff2=Ffsinα=may

在很小的Δt时间内

Δvx=axΔt

Δvy=ayΔt

v相对的方向与x轴正方向夹角为α=37°

图6

图7

物块相对传送带侧向进入，是一个二维传送问题，取地面为参考系，摩擦力的方向与速度的关系不容易如参考答案这样判断出来，更谈不上如何分析做正功、负功以及什么时候有最小值。而以传送带为参考系，物块沿着x轴和y轴的分加速度作用下同时做匀减速直线运动是比较直观的，最终物块相对传送带静止，即对地与传送带的速度一样，较容易分析出物块相对传送带的运动过程，同时也较容易得到物块相对传送带的合速度和滑动摩擦力方向不变这一隐含条件，最后再根据题设要求对地面的最小动能时再转化为取地面为参考系，基于伽利略变换的速度合成定理，即绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，采用矢量合成法则求出物块对地的最小速度，问题就迎刃而解了。

三、物体相对传送带做变速直线运动的二维问题

【试题调研3】如图8甲图所示，是传送带紧贴矩形桌面的俯视示意图。传送带和桌面在同一水平面且都足够宽、足够长，传送带沿图示方向运动。abcd是垂直水平面固定的光滑挡板条，ab与cd部分是直的，bc是平滑过渡部分。挡板条ab部分与传送带运动方向的夹角为θ。质量为m1的小滑块A与传送带的动摩擦因数为μ，从a点由静止释放，最后与静止在桌面c点、质量为m2的小滑块B发生弹性正碰。小滑块A、B均可视为质点，桌面c点左侧光滑，右侧与小滑块A、B的动摩擦因数均为μ1，重力加速度为g。

甲

乙

【解题思路】(1)由小滑块A、B发生弹性正碰可知

m1=3m2③

联立④⑤⑥⑦解得s1∶s2=1∶9

(2)因A、B最后停在桌面上同一位置，故B碰后的速度与A反弹后从传送带滑回桌面的速度相同。

(3)对小滑块受力分析如图9所示，因为挡板的作用，以传送带为参考系，小滑块垂直斜面速度保持不变，小滑块沿斜面向下做减速运动，合速度v0方向发生变化，滑动摩擦力Ff的方向顺时针变化，故小滑块沿斜面向下做初速度v0cosθ且加速度减小的减速运动，因为传送带足够长且足够宽，故最终小滑块沿斜面方向速度为零，摩擦力Ff与FN垂直，此时小滑块相对传送带的速度为v0sinθ；

图9

图10

物块从a点由静止释放，相对传送带相当以速度v0开始运动，由于挡板的作用，物块之后的运动过程也是一个二维传送问题，滑动摩擦力的大小不变毋庸置疑，但因为两个分速度在相等的时间内变化量不同，即两个分加速度不同，所以滑动摩擦力的方向随着物块的运动改变，其方向始终与小滑块相对于传送带的合速度方向相反，最终合速度方向与斜面垂直，即传送带对小滑块的滑动摩擦力最终与Ff2方向重合，以传送带为参考系分析运动过程就直观得多，若以地面为参考系，则整个过程分析就显得复杂得多。