圆周运动中临界极值情境与赋值间的关系

2020-11-16安徽

教学考试(高考物理) 2020年4期

安徽邵永

物理中的临界极值问题无论是否出现“恰好”“不脱离”“最大”“至少”等词语，总会隐去或者部分隐去研究对象的现象，且有一定的变化条件，在变化过程中使得某些物理量达到最大或最小，从一种现象变为另一种现象。这类问题往往具有情景隐蔽、过程复杂的特点，主要考查受力分析、运动分析、功能关系等物理学科主干知识和利用数学知识处理物理问题的能力，做到基础与能力并重、基础与素养兼容。在教学过程中把一定的物理模型进行变式分析，或对相同的物理模型给予不同赋值，对其临界极值情境进行对比分析，均能培养学生的理性思维能力，加深学生对所学知识的深刻理解和应用，针对试题做到有的放矢。

一、水平面内匀速圆周运动中的临界极值问题

【例1】如图1所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，物体A的质量为m，物体B、C的质量均为2m，A、B离轴心距离为R，C离轴心距离为2R，当圆台旋转时下列说法中正确的是

( )

图1

A.在圆台匀速转动时，如果三个物体相对圆台都没有滑动，则物体C的向心加速度最大

B.在圆台匀速转动时，如果三个物体相对圆台都没有滑动，则物体B受到的摩擦力最大

D.当圆台转速增加时，三个物体发生滑动的先后顺序是C、B、A

【变式1】如图2所示，两个质量分别为2m和m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，木块a与转轴OO′的距离为L，木块b与转轴OO′的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的μ倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是

( )

图2

A.物体a所受的摩擦力先达到最大静摩擦力

B.发生滑动前a的摩擦力一直增大，b的摩擦力先增大后不变

【点拨】虽然本题中两物体之间比例1中多了一根轻绳，在研究对象、受力分析、临界情形和临界值等方面有所不同，但实际是例1中知识的应用与延续，因为在绳绷紧之前的分析和结论与例1是完全相同的，物体滑动的先后顺序与质量无关、与半径有关；b受到的摩擦力达到最大静摩擦力之后轻绳会绷紧，作用在b上的拉力指向圆心且不断增大，用于补充b的向心力的增加，但作用在a上的拉力是背离圆心的，Ffa=FT+2mω2L，所以a的摩擦力会随角速度的增大继续增大，当二者摩擦力都达到最大静摩擦力之后a、b整体将远离圆心运动。

【变式2】如图3所示，用强度足够大的轻绳连接放在水平圆盘上的两个相同小木块a和b(均可视为质点)，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴OO′的距离为2L，小木块质量均为m，木块与圆盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，则

( )

A.a与圆盘间的静摩擦力先达到最大静摩擦力

B.发生滑动前，a的摩擦力一直增大，b的摩擦力先增大后不变

图3

【点拨】本题也是例1中知识的应用与延续，虽然从外形来看与变式1十分相似，但摩擦力的变化规律却不同，原因是两木块在转轴的同侧和异侧的受力情况不同，当绳绷紧之后变式1中绳对a的拉力方向背离圆心，而变式2中绳对a的拉力方向是指向圆心的。因为受力情况不同，有可能出现不同质量比的变化规律和临界情形不同。在例1和变式1中木块之间的质量比不同不影响摩擦力的变化趋势和极值情境，即例1中木块滑动的先后顺序，变式1中木块b的摩擦力先达到最大后不变，a的摩擦力继续增大到最大静摩擦力之后，两木块将远离圆心运动等方面均与木块的质量没有关系；在变式2的模型中，绳绷紧之前，无论两物体间质量是怎样的关系，b木块的摩擦力总是先达到最大值，但是在绳绷紧之后，不同质量比有着不同的变化规律和临界情形。由向心力公式Fa向=maraω2，Fb向=mbrbω2可以看出随角速度的增大，两木块所需向心力的增加量间的大小关系与质量和半径的乘积有关，当marambrb时，向心力增加量a大于b，由μmbg+FT=mbω2rb，Ffa+FT=maω2ra联立得Ffa-μmbg=(mara-mbrb)ω2，由此可得当ω增大时，b所受的摩擦力不变，a所受摩擦力逐渐增大。当a的摩擦力达到最大静摩擦力之后，b所受摩擦力会逐渐减小到零，然后反向逐渐增大，当b的摩擦力再次达到最大时，a将远离圆心,b将向圆心运动。上述讨论中质量与半径乘积的大小关系反映的是物体组质心与转轴的关系，当质心在转轴上时物体组一定不会滑动，当质心不在转轴上时最终质心会做离心运动，因此利用质心法很容易确定临界情境和计算临界值。