追本溯源 演绎精彩——2019年清华大学自主招生第13题寻解之旅

陕西 李 歆

大学自主招生是深化高校招生制度改革的一项重要举措，也是促进中学素质教育全面发展的有效途径.大学自主招生数学试题往往具有难度大，思路活，方法巧等特点，对大学选拔优秀学生和中学数学教学具有一定的方向性和指导性.研究大学自主招生数学试题，从命题背景、解题思路以及方法策略等方面进行深入思考，并站在学生的视角对问题进行解前分析和解后点评，让更多的学生不因遇到大学自主招生试题而烦恼，让更多的学生与大学自主招生试题结为好友，从而在大学自主招生考生中脱颖而出，应该成为广大教师教学的一条专业成长之路.

一、看似简单，实则不易的考题

1.试题呈现

问题1.(2019·清华大学自主招生·13)若正实数a，b满足ab(a+8b)=20，则a+3b的最小值是________.

此题看上去与普通问题没有区别，但思考起来却不是很顺利，对考生分析和解决问题的综合能力要求较高.

2.解法探寻

由于已知条件中含有三次式的结构，而所求问题式只是一次式的线性结构，不能将已知条件中的两个变量单独分离出来，因此用常规的解题工具——均值不等式难以找到出路.注意到所求问题式是一次式，不妨借助换元法，将所求问题式看成一个新的变量，然后利用函数与方程思想试一试.

寻解1：令t=a+3b，则t>0，将a=t-3b代入已知条件，整理得15b3-2tb2-t2b+20=0 (1)，

由题意可知，三次方程(1)有正实数解.

故a+3b的最小值是5.

点评：此解通过换元之后，巧妙地利用导数这个解题工具，以三次方程(1)的正实数解为主线，使问题得以圆满解决，但纵观这个解法，知识含量和思维空间都比较大，一般学生很难理解.同时，这种解法有一个致命的弱点，就是所求问题式必须是线性的，如果将所求问题式换为非线性的，比如二次式a2+3b2，那么这种解法就会失效.况且，作为一道填空题，这种解法似乎有“小题大做”之意.因此，探寻其他解法，不仅很有必要，而且十分有意义.

二、追本溯源，从基础题做起

1.一道基础题

问题2.已知正数a，b满足ab(a+2b)=2，则a+b的最小值是________.

很显然，问题2与问题1十分相似，只是已知条件和所求问题式中的“线性系数”不同而已.对于问题2，如果按照问题1的解法去处理，则显得复杂一些.因为把已知条件稍作变形后，就会得到b(a2+2ab)=2，这时等式左边括号里面恰好是(a+b)2展开式中的前两项，由此可以获得如下解法.

1.1 一种漂亮解法

点评：由于问题1和问题2中“线性系数”的差异，导致问题1无法用问题2的方法完成，但问题2的解法却意外的给了我们一种启示，就是用平方法处理线性最值问题，即在已知条件下，如何快捷、高效地处理二次齐次式ma2+nab+kb2的最值问题.

1.2 一种错误解法

有位学生在解问题2时，将已知条件也作了变形，结果却得到了下面的错解.

2.几道变式题

2.1由错误解法引发的变式

在数学解题过程中，学生出现错误是很正常的一件事，在这种情况下，教师切不可轻易地放弃学生的解题思路，强制要求学生按照教师提供的方法来完成解题，那样往往会阻碍学生思维的发展，甚至扼杀学生的创造性思维.因此，教师要善于从学生出现的问题中辩证地分析错因所在，做到因势利导，对症下药，这样才能准确医治学生的“思维伤口”，引领学生思维沿着正确的方向前行.

可以看出，上面这位学生的解题方向值得肯定，导致解法错误的根源在于等号成立的条件前后不一致，如果改变一下已知条件和所求问题，那么会怎么样呢？由此引发出变式1.

变式1.已知正数a，b满足ab(a+2b)=10，则a2+5ab+b2的最小值是________.

故a2+5ab+b2的最小值是15.

点评：此解法与上述错解的过程几乎完全一样，只是某些式子的结构不同，由此说明，在学生错误解法的背后的确隐藏着可以借鉴的和有用的东西，值得教师在教学中加以正确引导，让学生学会找错和改错，从而在错误的源头上彻底清除学生的思维障碍，打通走向成功的希望之路.

2.2改变所求问题式的结构引发的变式

对于变式1，如果已知条件不变，改变一下所求问题式的结构，那么解法会改变吗？

变式2.已知正数a，b满足ab(a+2b)=10，则13a2+17ab+7b2的最小值是________.

容易发现，继续沿用变式1的解法是徒劳的，让我们的思路往回走，面对问题2的解法想一想，能否得到启示呢？

故13a2+17ab+7b2的最小值是75.

点评：把所求问题式进行拆项处理，并将(1)式和(2)式代入后，则巧妙地消去了ab，从而使下一步再拆项水到渠成，同时为均值不等式的运用搭建了平台.

变式3.已知正数a，b满足ab(a+2b)=10，则2a2+2ab+b2的最小值是________.

与变式2相比较，所求问题式的各项系数变小了，按理来说求解应该方便一些，但事实恰恰相反，直接用变式2的解法，对所求问题式进行拆项处理是行不通的，我们不妨将问题式各项的系数变大一些，则可以求解.

故2a2+2ab+b2的最小值是10.

点评：以上三种变式，已知条件相同，只是所求问题式的各项系数发生了变化，然而入手时的思路却在处理细节上有所不同，由此从几个不同的解题视角上，反映了二次齐次式ma2+nab+kb2的解题策略，揭示了“细节决定成败”的解题内涵.

三、条件成熟，优美解法登台

1.问题1寻解出彩

通过对上面的基础题问题2以及三个变式的解法研究，问题1的第二次寻解已经浮出水面，只需要将变式3的解法作一些数字修改即可.

故a+3b的最小值是5.

点评：很明显，寻解2比寻解1要简洁得多，而且寻解2仅仅用到了代数式的变形、平方、配项系数、拆项以及均值不等式，这些都是处理代数最值问题最常用的解题方法和基本工具，是数学教学中最为理想也是众所期盼的解题途径，因此，寻解2充分彰显了数学解题基本方法的魅力和价值所在.

2.问题1的拓展变式

受问题1寻解2的启发，在已知条件不变的情况下，将所求问题式变为二次非齐次的形式，可以得到以下两个变式.

变式4.若正实数a，b满足ab(a+8b)=20，则a2+15ab+21b2+5a的最小值是________.

故a2+15ab+21b2+5a的最小值是65.

变式5.若正实数a，b满足ab(a+8b)=20，则a2+5ab+8b2+b的最小值是________.

故a2+5ab+8b2+b的最小值是23.

点评：由于所求问题式变得复杂一些，因此变式4和变式5相对于问题1又增加了难度，但是有了问题1的寻解2作为参考，以及问题2的三个变式精彩解法的能力提升，处理变式4和变式5便轻车熟路.

四、不忘初心，研究尚在路上

“问题是数学的心脏”，解决问题就是对心脏的维护和保养.一个经典数学问题的诞生，往往凝聚着命题者潜心研究和反复实践的水平和智慧，对数学教学具有不可估量的作用.从问题2到问题1，虽然题型结构没有发生改变，只是将已知条件和所求问题式中的“线性系数”作了简单地调整，但解决问题的策略却在细节上发生了质的变化和飞跃，单凭机械地模仿和借用问题2的解法处理问题1只能是“望洋兴叹”，由此说明从问题2到问题1的解题历程还很遥远.因此，在数学教学中，对问题2的处理如果就题解题，没有后续的变式和教学，那么学生的思维就会被禁锢、被滞留，当问题1出现时就会“似曾相识”，却“望而生畏”.因此，在数学教学中，教师要不忘初心，牢记研究永远在路上，做问题变式及其教学的领路人，不断开启学生的思维智慧，在教学路上让变式教学熠熠闪光.像上面的问题2，在顺利完成解法之后，再进一步地做变式和拓展研究，通过变式1、变式2和变式3的教学，不仅让学生从方法角度掌握此类最值问题的解决策略和思维链条，也让学生从探究领域感悟到数学经典问题的产生背景及其相互关系，当问题1及其变式出现时，思维就会跟着感觉走，在不知不觉中进入到“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的思维境界，从而实现由基础知识题到能力水平题的思维大提升和大跨越.